題目列表(包括答案和解析)
閱讀程序框圖,若輸出的S的值等于16,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)應填寫的條件是 ( )
A.i>5 B.i>6 C.i>7 D.i>8
說明:1.參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數(shù).
2.對解答題中的計算題,當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.
3.解答右端所注分數(shù),表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).
4.只給整數(shù)分數(shù),選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本大題主要考查基本知識和基本運算.共8小題,每小題5分,滿分40分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
C
B
D
二、填空題:本大題主要考查基本知識和基本運算.本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個空2分,第二個空3分.
9. 10. 11. 12.-1;4 13.
14.1 15.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
(本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力)
解: (1)∵, 且,
∴ .
由正弦定理得.
∴.
(2)∵
∴.
∴ .
由余弦定理得,
∴.
17.(本小題滿分14分)
(本小題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力)
解:(1)記“甲射擊一次,擊中目標”為事件,“乙射擊一次,擊中目標”為事件,“甲射擊一次,
未擊中目標”為事件,“乙射擊一次,未擊中目標”為事件,
則,.
依題意得,
解得.
故的值為.
(2)的取值分別為.
,
,
,
的分布列為
0
2
4
18.(本小題滿分14分)
(本小題主要考查空間中線面的位置關(guān)系、空間的角、幾何體體積等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)
(1) 證明: ∵分別是棱的中點,
∴是△的中位線.
∴.
∵平面平面
∴平面.
同理可證 平面.
∵平面,平面,
∴平面// 平面.
(2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:
解法1: 由已知平面, ,
∴.
∴三棱錐的體積為
.
當且僅當時等號成立,取得最大值,其值為, 此時.
解法2:設,在Rt△中,.
∴三棱錐的體積為
.
∵,
∴ 當,即時,取得最大值,其值為,此時.
求二面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:
解法1:作,垂足為, 連接.
∵ 平面,平面平面,
∴ 平面.
∵ 平面,
∴ .
∵ ,
∴ 平面.
∵平面,
∴.
∴ 是二面角的平面角.
在Rt△中,,
∴.
在Rt△中,,
.
∴二面角的平面角的余弦值為.
解法2:分別以所在直線為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標系,
則.
∴.
設n為平面的法向量,
∴
即
令, 則.
∴為平面的一個法向量.
∵平面的一個法向量為,
∴.
∴二面角的平面角的余弦值為.
19.(本小題滿分12分)
(本小題主要考查函數(shù)最值、不等式、導數(shù)及其應用等基礎(chǔ)知識,考查分類與整合的數(shù)學思想方法,以及運算求解能力和應用意識)
解:(1)生產(chǎn)150件產(chǎn)品,需加工型零件450個,
則完成型零件加工所需時間N,且.
(2)生產(chǎn)150件產(chǎn)品,需加工型零件150個,
則完成型零件加工所需時間N,且.
設完成全部生產(chǎn)任務所需時間為小時,則為與的較大者.
令,即,
解得.
所以,當時,;當時,.
故.
當時,,故在上單調(diào)遞減,
則在上的最小值為(小時);
當時,,故在上單調(diào)遞增,
則在上的最小值為(小時);
,
在上的最小值為.
.
答:為了在最短時間內(nèi)完成生產(chǎn)任務,應取.
20.(本小題滿分14分)
(本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識和數(shù)學探究,考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學思想方法,以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)
解:(1)圓, 圓心的坐標為,半徑.
∵,
∴點在圓內(nèi).
設動圓的半徑為,圓心為,依題意得,且,
即.
∴圓心的軌跡是中心在原點,以兩點為焦點,長軸長為的橢圓,設其方程為
, 則.
∴.
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.
(2)由 消去化簡整理得:.
設,,則.
△. ①
由 消去化簡整理得:.
設,則,
△. ②
∵,
∴,即,
∴.
∴或.
解得或.
當時,由①、②得 ,
∵Z,
∴的值為 ,,;
當,由①、②得 ,
∵Z,
∴.
∴滿足條件的直線共有9條.
21.(本小題滿分14分)
(本小題主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列前項和、不等式等基礎(chǔ)知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學思想方法,以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)
解: (1) ∵是關(guān)于的方程N的兩根,
∴
求數(shù)列的通項公式, 給出如下四種解法:
解法1: 由,得,
故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.
∴, 即.
解法2: 由,兩邊同除以, 得,
令, 則.
故
.
且也適合上式,
∴, 即.
解法3: 由,得,
兩式相減得.
當為正奇數(shù)時,
.
且也適合上式.
當為正偶數(shù)時,
.
且也適合上式.
∴ 當N時,.
解法4:由,,得,
.
猜想.
下面用數(shù)學歸納法證明猜想正確.
① 當時,易知猜想成立;
② 假設當N)時,猜想成立,即,
由,得,
故當時,猜想也成立.
由①、②得,對任意N,.
∴
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