1．與方程有關的問題

例1

    A. 1個      B. 2個      C. 3個      D. 1個或2個或3個

    解析：

出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。

點撥:對于一些不規(guī)則方程判斷根的個數(shù)問題,用解方程的方法求出解來,再說有幾個根是不可能的,而借助數(shù)形結(jié)合,將根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點個數(shù)問題.

2、與不等式有關的問題

例2

解析:

.

點撥: 數(shù)形結(jié)合,將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的高低關系,進而轉(zhuǎn)化為解方程,求交點的橫坐標.

例3 設f(x)=x²?2ax+2,當x∈［?1,+∞)時，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍 

解法一  由f(x)＞a，在［?1,+∞)上恒成立

x²?2ax+2?a＞0在［?1,+∞)上恒成立 

考查函數(shù)g(x)=x²?2ax+2?a的圖象在［?1,+∞］時位于x軸上方 

如圖兩種情況 

不等式的成立條件是 

(1)Δ=4a²?4(2?a)＜0a∈(?2,1)

(2)a∈(?3,?2，

綜上所述a∈(?3,1)   

解法二  由f(x)＞ax²+2＞a(2x+1)

令y₁=x²+2,y₂=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象  

如圖滿足條件的直線l位于l₁與l₂之間，而直線l₁、l₂對應的a值（即直線的斜率）分別為1，?3，

故直線l對應的a∈(?3,1) 

反思:不等式f(x)>g(x)恒成立,就是保證函數(shù)f(x)的圖象在g(x)圖象的上方,借助圖象的高低來比較量的大小.

3．與函數(shù)有關的問題

例4 設A={x｜?2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x²，且x∈A }，若CB，求實數(shù)a的取值范圍 

 分析: 解決本題的關鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C  進而將CB用不等式這一數(shù)學語言加以轉(zhuǎn)化 

解  ∵y=2x+3在［?2, a］上是增函數(shù)

∴?1≤y≤2a+3，即B={y｜?1≤y≤2a+3}

作出z=x²的圖象，該函數(shù)定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下 

①當?2≤a≤0時，a²≤z≤4即C={z｜a²≤z≤4}

要使CB,必須且只須2a+3≥4得a≥與?2≤a＜0矛盾 

②當0≤a≤2時，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由圖可知 

必須且只需,解得≤a≤2

③當a＞2時，0≤z≤a²，即C={z｜0≤z≤a²}，

要使CB必須且只需

,解得2＜a≤3

④當a＜?2時，A=此時B=C=，則CB成立 

綜上所述，a的取值范圍是(?∞,?2)∪［,3］ 

點撥: 解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為一般的數(shù)學語言，進而分析條件與結(jié)論特點，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決 

求一元二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域或最值,要根據(jù)對稱軸與該區(qū)間的關系,充分借助相應區(qū)間上二次函數(shù)的圖象求解.

4、與幾何有關的問題

    例5若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是___________。

解析：y=x－m表示傾斜角為45°，縱截距為－m的直線，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即.

點撥:明確方程的幾何意義,在同一坐標系中畫出相應的幾何圖形,根據(jù)直線系的特點,由圖形研究直線與半圓的位置關系.

例6 。

    解析:

截距。

    ∴

反思:對于形如y－3x的二元一次函數(shù)求最值,如果限制條件是表示的是幾何區(qū)域或曲線,常采用借助直線的截距來求.

數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學試題的的一種常用方法與技巧，不僅在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，而且在解決一些抽象問題中常起到事半功倍的效果，在運用過程中要特別注意以下問題：

【例1】方程lgx = sinx的實根的個數(shù)為 （     ）   

A. 1個          B. 2個       C. 3個         D. 4個

錯解：畫出y = lgx和y = sinx在同一坐標系中的圖象，如圖所示，

兩圖象有1個交點，選A.

錯因分析：函數(shù)y = sinx，而lg10=1，且＜10，函數(shù)y = lgx的圖象有誤。

正解：畫出y = lgx和y = sinx在同一坐標系中的圖象，如圖所示，

兩函數(shù)圖象有3個交點，選C.

點評：一些判斷方程根的個數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為考察兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)，但要注意“數(shù)”的精確性，準確作圖，從而得出正確結(jié)論。

【例2】函數(shù)y = a|x|與y = x + a的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）

A．(1，+∞)                      B．(- 1，1)

C．(- ∞，- 1]∪[1，+∞)         D．(- ∞，- 1)∪(1，+∞)

錯解：在同一坐標系中畫出y = a|x|與y = x + a的圖象，

所以a > 1，選A。

錯因分析：畫函數(shù)y = a|x|的圖象時，忽略了討論系數(shù)a的正負。

正解：畫出y = a|x|與y = x + a的圖象，兩圖象有兩個交點的情形如下：

點評：有些數(shù)學問題所對應的圖形是不唯一的，必須根據(jù)不同情況準確作圖，再進行討論求解。

二、“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的等價性

【例3】若關于x的方程x ² + 2kx + 3k = 0的兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍。

誤解：令f (x) = x ² + 2kx + 3k，其圖象與x軸交點的橫坐標就是方程f (x) = 0的解。

由y = f (x)的圖象可知，要使兩根都在-1和3之間，只需

，∴k∈

錯因分析：所列不等式組與滿足條件的圖象不等價。比如下圖，滿足此不等式組，但不滿足方程根的分布情況。

正解：由圖象列出滿足條件的不等式組為 ，∴k∈(- 1，0].

點評：此類題存在著兩個等價轉(zhuǎn)化：一是將方程根的分布情況轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸的交點情況，進而畫出函數(shù)草圖；二是由草圖列出與之等價的不等式組。

五、規(guī)律總結(jié)

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關系和幾何圖形結(jié)合起來的思想方法，即根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究（即“以形助數(shù)”）；或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系的問題去研究（即“以數(shù)助形”）。

1.數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：

（1）函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的內(nèi)在聯(lián)系①構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的范圍；②構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的個數(shù)；③構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關系。

（2）構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究代數(shù)式的取值范圍問題。

（3）研究幾何圖形的形狀、形狀、圖形間的位置關系。

2.“以形助數(shù)”常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象、借助單位；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助解析幾何方法。

3.“以數(shù)助形”常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關系；借助于運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。

六、能力突破

華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非�！睌�(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。

【例1】設A=，B=，C=，若，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：解決本題的關鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C，進而用不等式將這一集合語言加以轉(zhuǎn)化。

解：∵y=2x＋3在[－2，a]上是增函數(shù)，∴B=。

作出函數(shù)z=x²的圖象，其定義域右端點x=a有三種不同的位置關系：

①當時，如圖1，，即｛z|｝。

要使，必須且只需，解得，與矛盾。

②當時，如圖2，，即｛z|｝.

要使，必須且只需，解得。

③當時，如圖3，，即｛z|｝。

要使，必須且只需，解得。

④當a＜－2時，A=，此時B=C=，成立。

綜上所述，a的取值范圍是。

反思：解決集合問題首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為數(shù)學語言，進而分析條件與結(jié)論的特點，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決。

對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，應抓住對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系，借助圖象的直觀形象，達到解決問題的目的。

【例2】已知實數(shù)x、y滿足x²＋y²=3（），求（1），（2）b=2x+y的取值范圍。

分析：m可以看作過兩點的斜率，而b是直線的截距。

解：（1）將m看作半圓x²＋y²=3（）上的點M（x，y）和定點A（－3，－1）的直線的斜率。

由圖1可知，（k₁、k₂分別表示直線AM₁、AM₂的斜率），

且。

直線AM₂的方程是，有。

所以，。

（2）將b看作斜率為－2，過半圓x²＋y²=3（）上的點P（x，y）的直線在y軸上的截距。

由圖2 可知，（n₁、n₂分別表示直線BP₁、CP₂的截距）。

直線BP₁的方程是，則n₁= 。

設直線BP₂的方程是2x＋y＋c=0，有。

所以，。

反思：根據(jù)所給代數(shù)式的特點，由解析幾何中的斜率、截距、距離的概念研究最值問題，是數(shù)形結(jié)合思想的一個重要體現(xiàn)。

形如2x+y的代數(shù)式求最值，如果限制條件表示的是幾何區(qū)域或曲線，常借助直線截距來求；而形如的代數(shù)式，根據(jù)其幾何意義為斜率求解。

從上面所舉的兩個例子中可以看出：數(shù)形結(jié)合思想的“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，充分考查數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合，從而尋找到解題思路，使問題得到解決。

七、高考風向標

數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，歷年來一直是高考考查的重點之一，主要涉及：

集合及其運算問題――韋恩圖與數(shù)軸；

用函數(shù)圖象解決有關問題（如方程、不等式等）；

運用向量解決有關問題；

三角函數(shù)圖象及其應用；

數(shù)學概念及數(shù)學表達式幾何意義的應用；

解析幾何中的數(shù)形結(jié)合。

靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學技能，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。

【例1】（07年高考浙江卷理10）設是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（   ）

A．       B．

C．                 D．

解析：C 因為是二次函數(shù)，值域不會是A、B，畫出函數(shù)的圖像（圖1）易知，當值域是時，的值域是。

點評：本題主要考查分段函數(shù)、復合函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過函數(shù)的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。

熟悉各類函數(shù)的圖象，借助圖象研究函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性），結(jié)合函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征有助于理解題意，探求解題思路，檢驗解題結(jié)果。如：

（08年高考福建卷理12）已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（      ）

解析：D由導函數(shù)的圖象可知，在（0，＋）單調(diào)減，說明函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點切線的斜率為單調(diào)減，排除A、C。又由圖象知兩導函數(shù)在x=x₀處相交，說明兩函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象在x=x₀處的切線斜率相等，排除B。

【例2】（08年高考浙江卷理5文7）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是（    ）

（A）0        （B）1         （C）2          （D）4

解析：C 圖象如圖所示，直線與該函數(shù)圖象有兩個交點。

點評：本題考查了誘導公式以及三角函數(shù)的圖象等知識，考查學生的數(shù)形結(jié)合的能力。

在解決三角函數(shù)的有關問題時，若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)（量）與圖形結(jié)合起來進行分析、研究，使抽象復雜的數(shù)量關系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來，這是解決三角函數(shù)問題的一種思維策略。

另一方面，用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法。如：

（08年高考湖北卷文13）方程的實數(shù)解的個數(shù)為          。

解析：2  如圖，在同一坐標系內(nèi)分別畫出和的圖象

由圖可知，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個根。

【例3】（08年高考湖南卷理3）已知變量x、y滿足條件則的最大值是(     )

A.2         B.5         C.6         D.8

解析：C如圖所示，可行域為圖中陰影部分（包括邊界線），則z=在A點處取得最大值，由得A（3，3），故最大值為3＋3=6.

點評：本題主要考查線性規(guī)劃知識。

二元一次方程組與二元函數(shù)的對應實質(zhì)上是簡單線性規(guī)劃問題，利用可行域可以求目標函數(shù)的最值，屬于典型的數(shù)形結(jié)合的案例。值得注意的是，目標函數(shù)對應的直線與邊界直線斜率的大小關系用于確定最優(yōu)解的正確位置應仔細觀察各直線的傾斜程度，準確判定可行域內(nèi)的最優(yōu)解。

此類題目在各地高考試題中均有考查，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)。

【例4】（08年高考海南寧夏卷理11）已知點P在拋物線y² = 4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（    ）

A. （，－1）          B. （，1）        C. （1，2）         D. （1，－2）

解析：A  定點在拋物線內(nèi)部，由拋物線的定義，動點到拋物線焦點的距離等于它到準線的距離，問題轉(zhuǎn)化為當點到點和拋物線的準線距離之和最小時，求點的坐標，顯然點是直線和拋物線的交點，解得這個點的坐標是。

【點評】本題考查拋物線的定義和數(shù)形結(jié)合解決問題的思想方法。類似的題目在過去的高考中。

【易錯指導】不能通過草圖和簡單的計算確定點和拋物線的位置關系，不能將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為其到準線的距離，是解錯本題或不能解答本題的原因。

在解析幾何中，曲線是軌跡的幾何形式，具有直觀形象的優(yōu)點；方程是軌跡的代數(shù)形式，便于運算，具有可操作性的優(yōu)點。曲線和方程是同一軌跡的兩種表示形式，在不同形式下各有所長，把二者緊密結(jié)合起來，能揚長避短，各得其所，因此充分利用平面直角坐標系，使屬性緊密結(jié)合起來，以便發(fā)揮各自的優(yōu)勢。

在各地高考試題對解析幾何的考查中，通過選擇、填空、解答題的形式均有體現(xiàn)。

八、沙場練兵

1、（08濰坊模擬）已知0 < a < 1，則方程a ^|x| = |log _a x|的實數(shù)根的個數(shù)為    （    ）

A. 1個  B. 2個  C. 3個  D. 1個或2個或3個

2、如果實數(shù)x、y滿足(x ? 2) ² + y ² = 3，則的最大值為（   ）

A．     B．      C．      D．

3、（08濟寧模擬）設集合，，則等于（   ）

A．               B．     C．            D．

4、設是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（   ）

5、（08黃岡模擬）若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（   ）

A．       B．       C．       D．

6、則|z|的最大值為（     ）

A.         B.2        C.3         D.4

7、（08臨沂模擬）函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（     ）

A.              B.

C.               D.

8、方程的根分別是a，b，則a與b的大小關系是（    ）

A.a＞b        B. a＜b         C. a=b         D.不確定

9、對于任意的實數(shù)x，設f（x）是4x＋1，x＋2和－2x＋4三者中的最小者，則f（x）的最大值為（    ）

A.      B.3        C.          D.

10、設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（   ）

    A.2   　　　　B.3  　　　　 C.4  　　　　D.5

11、在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則       （   ）

Ａ．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)

Ｂ．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)

Ｃ．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)

Ｄ．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)

12、

MF₁的中點，O表示原點，則|ON|=（    ）

13、若f (x) = x ² + bx + c對任意實數(shù)t，都有f (2 + t) = f (2 ? t)，則f (1)、f (- 3)、f (4)由小到大依次為___________。

14、若關于x的方程x ² ? 4|x| + 5 = m有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為____.

15、若直線y = x ? m與曲線y = 有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是_____.

16、（08福州模擬）是         。