題目列表(包括答案和解析)
17世紀(jì),科學(xué)家們致力于運動的研究,如計算天體的位置,遠(yuǎn)距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量,炮彈的速度對于高度和射程的影響等.諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關(guān)系,并根據(jù)這種關(guān)系對事物的變化規(guī)律作出判斷,如根據(jù)炮彈的速度推測它能達(dá)到的高度和射程.這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景.
“function”一詞最初由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(G.W.Leibniz,1646~1716)在1692年使用.在中國,清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811~1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”.
萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量,如坐標(biāo)、切線等.1718年,他的學(xué)生,瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(J.Bernoulli,1667~1748)強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示.后來,數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是判斷函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn).只要一些變量變化,另一些變量隨之變化就可以了.所以,1755年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler,1707~1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量,以一種方式依賴于另一些變量,我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”.
當(dāng)時很多數(shù)學(xué)家對于不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣,甚至抱懷疑態(tài)度.函數(shù)的概念仍然是比較模糊的.
隨著對微積分研究的深入,18世紀(jì)末19世紀(jì)初,人們對函數(shù)的認(rèn)識向前推進(jìn)了.德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805~1859)在1837年時提出:“如果對于x的每一個值,y總有一個完全確定的值與之對應(yīng),則y是x的函數(shù)”.這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個法則,使得取值范圍中的每一個值,有一個確定的y和它對應(yīng)就行了,不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式.19世紀(jì)70年代以后,隨著集合概念的出現(xiàn),函數(shù)概念又進(jìn)而用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募虾蛯?yīng)語言表述,這就是本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念.
綜上所述可知,函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實際需要緊密相關(guān),而且隨著研究的深入,函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá),這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的.
你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景,談?wù)剰某踔械礁咧袑W(xué)習(xí)函數(shù)概念的體會嗎?
1.探尋科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的過程,對指導(dǎo)我們的學(xué)習(xí)有什么現(xiàn)實意義?
2.萊布尼茲、狄利克雷等科學(xué)家有哪些品質(zhì)值得我們學(xué)習(xí)?
問 題 | 結(jié) 論(不需要過程) | 分?jǐn)?shù) | ||||||
求f(2x-
|
||||||||
求函數(shù)f(2x-
|
||||||||
寫出f(2x-
|
||||||||
寫出f(x-
|
||||||||
寫出f(2x)圖象的所有對稱中心 |
G(x1)+G(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
1.B 提示:在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)y = a |x|與y = |log a x|圖象,如圖
2.D提示: 如圖|OM| = 2,|AM| = ,|OA| = 1,∴k = tan∠AOM = 。
3.B提示: A=[0,4],B=[-4,0],
4.D
5.B 提示:如圖
6.C 提示:而|z|表示
7.A 提示:T=2×8=16,則,令。
8.A 提示:在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象,易得。
9.A 提示:在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=4x+1,y=x+2和y=-2x+4的圖象,由圖可知,f(x)的最高點為。
10.D 提示:由可行域易知z=5x+y過點(1,0)時取得最大值5.
11.B 提示: f(x)= f(-x)= f(2-x),故f(x)的草圖如圖:
由圖可知,B正確。
12.C提示:設(shè)橢圓另一焦點為F2,(如圖),,又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點, ∴ON是△MF1F2的中位線,
13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示:由f (2 + t) = f (2 ? t)知,f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,又f (x) = x 2 + bx + c為二次函數(shù),其圖象是開口向上的拋物線,由f(x)的圖象,易知f (1) < f (4) < f (- 3).
14.1 < m < 5提示:設(shè)y 1 = x 2 ? 4|x| + 5,y 2 = m,畫出兩函數(shù)圖象示意圖,要使方程x 2 ? 4|x| + 5 = m有四個不相等實根,只需使1 < m < 5.
15.
提示:y=x-m表示傾角為45°,縱截距為-m的直線方程,而則表示以(0,0)為圓心,以1為半徑的圓在x軸上方的部分(包括圓與x軸的交點),如下圖所示,顯然,欲使直線與半圓有兩個不同交點,只需直線的縱截距,即.
16、
,
九、實戰(zhàn)演習(xí)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 方程的實根的個數(shù)為( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
2. 函數(shù)的圖象恰有兩個公共點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
3. 若不等式的解集為則a的值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若時,不等式恒成立,則a的取值范圍為( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2]
5 已知f(x)=(x?a)(x?b)?2(其中a<b,且α、β是方程f(x)=0的兩根(α<β,則實數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系為( )
6.已知x+y+1=0,則的最小值是( )
A. B. C. D..
7.如圖,是周期為的三角函數(shù)y=f(x)的圖像,那么f(x)可以寫成( )
A.sin(1+x) B.sin(-1-x) C.sin(x-1) D.sin(1-x)
8.方程x+log3x=2,x+log2x=2的根分別是α、β,那么α與β的大小關(guān)系是( )
A.α>β B.α<β C.α=β D.不確定.
9.
10. 在約束條件下,當(dāng)時,目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是( )
A. B. C. D.
11. 若不等式在(0,)內(nèi)恒成立,則a的取值范圍( )
A.[ ,1) B.( ,1) C.(0, ) D.(0, ]
12.已知,關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[-2,2] B.[,2] C.( ,2] D.( ,2)
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分,請把答案直接填在題中橫線上.
13.曲線y=1+ (?2≤x≤2)與直線y=r(x?2)+4有兩個交點時,實數(shù)r的取值范圍___________.
14 . 若關(guān)于x的方程有四個不相等的實根,則實數(shù)m的取值范圍為___________。
15. 函數(shù)的最小值為___________。
16. 對于每個實數(shù)x,設(shè)f(x)是4x+1,x+2和-2x+4三者中的最小者,則f(x)的最大值為_________.
三、解答題:本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. (12分)若不等式的解集為A,且,求a的取值范圍。
18.(12分)設(shè),試求方程有解時k的取值范圍。
19 (12分)已知圓C:(x+2)2+y2=1,點P(x,y)為圓C上任一點.
⑴求的最值. ⑵求x-2y的最值.
20. (12分)設(shè)A={(x,y)|y=,a>0},B={(x,y)|(x?1)2+(y?)2=a2,a>0},且A∩B≠,求a的最大值與最小值
21. (12分)設(shè)f(x)=,a,b∈R,且a≠b.求證:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
22 (12分)已知A(1,1)為橢圓=1內(nèi)一點,F1為橢圓左焦點,P為橢圓上一動點 求|PF1|+|PA|的最大值和最小值
參考答案:
一、選擇題
1. C 解析:畫出在同一坐標(biāo)系中的圖象,即可。
2. D 解析:畫出的圖象
情形1: 情形2:
3. B 解析:畫出的圖象,依題意,從而。
4. C 解析:令,畫出兩函數(shù)圖象.
a>1
若a>1,當(dāng)時,要使,只需使,∴;
若,顯然當(dāng)時,不等式恒不成立。
5 A 解析 a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的兩根,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖所示
6. B 解析:方程x+y+1=0表示直線,而式子表示點(1,1)到直線上點的距離,因此式子的最小值就是點(1,1)到直線x+y+1=0的距離,由點到直線的距離公式可求.
7. D 解析:由周期為得,ω=1,令1×1+φ=得, φ=-1.所以y=sin(x+-1)=-sin(x-1)=sin(1-x).
8. A 解析:由題意有, log3x=2-x, log2x=2-x,在同一坐標(biāo)系中作出y=log3x,y=log2x,y=2-x的圖像,
易見α>β.
9. D 解析:k=tan60°=.
(9題圖) (10題圖)
10. 解析:畫出可行域如圖
∵,∴在圖中A點和B點處,目標(biāo)函數(shù)z分別取得最大值的最小和最大.
∴zmax∈[7,8].故選D.
11. 解析:不等式變形為,令y1=x2,y2=logax,如圖
函數(shù)y2過點A()時,a=,為滿足條件的a邊界,故a的范圍是≤a<1.
(11題圖) (12題圖)
12.D. 解析:在坐標(biāo)系中畫出y=的圖象.
二、填空題
13. (] 解析 方程y=1+的曲線為半圓,y=r(x?2)+4為過(2,4)的直線. 14. 解析:設(shè),
畫出兩函數(shù)圖象示意圖,要使方程有四個不相等實根,只需使.
15. 解析:對,它表示點(x,1)到(1,0)的距離;表示點(x,1)到點(3,3)的距離,于是表示動點(x,1)到兩個定點(1,0)、(3,3)的距離之和,結(jié)合圖形,易得。
16. 解析:在同一坐標(biāo)系中畫出三個函數(shù)的圖像,如圖, 由圖知, f(x)的最高點為A(),
所以, f(x)的最大值為.
三、解答題
17. 解:令表示以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓在x軸的上方的部分(包括圓與x軸的交點),如下圖所示,表示過原點的直線系,不等式的解,即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應(yīng)的x值。
由于不等式解集, 因此,只需要
∴a的取值范圍為(2,+)。
(17題圖) (18題圖)
18. 解:將原方程化為:,
∴
令,它表示傾角為45°的直線系,;
令,它表示焦點在x軸上,頂點為(-a,0)(a,0)的等軸雙曲線在x軸上方的部分,
原方程有解,則兩個函數(shù)的圖象有交點,由圖知,
∴. ∴k的取值范圍為
(1) (2)
(1)設(shè)Q(1,2),則的最值分別為過Q點的圓C的兩條切線的斜率.如圖
設(shè)PQ:y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0
∴,∴k=或k=.
∴的最大值為,最小值為.
(2)令x-2y=b,即x-2y―b=0,為一組平行直線系,則x-2y=b的最值就是直線與圓相切時.如圖
由得,b=-2+,或b=-2-.
∴x-2y的最大值為-2+,最小值為-2-.
20.解 ∵集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點O為圓心,a為半徑的半圓;集合B中的元素是以點O′(1,)為圓心,a為半徑的圓 如圖所示
∴當(dāng)半圓O和圓O′外切時,a最小.∴a+a=|OO′|=2,∴amin=2?2
當(dāng)半圓O與圓O′內(nèi)切時, a最大 ∴a?a=|OO′|=2,∴amax=2+2
21.解:由y=得,y2-x2=1(y>x),表示的曲線為雙曲線的上支,且此雙曲線的漸近線為y=±x.
在曲線上任取兩點A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率為k,由雙曲線性質(zhì)得|k|<1.
∴,∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.
(21題圖) (22題圖)
22 解 由可知a=3,b=,c=2,左焦點F1(?2,0),右焦點F2(2,0)
如圖 由橢圓定義,|PF1|=2a?|PF2|=6?|PF2|,
∴|PF1|+|PA|=6?|PF2|+|PA|=6+|PA|?|PF2|
由||PA|?|PF2||≤|AF2|=知
?≤|PA|?|PF2|≤ (當(dāng)P在AF2延長線上的P2處時,取右“=”號;
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com