北京市東城區(qū)2008――2009學(xué)年度
高二年級(jí)數(shù)學(xué)選修課程模塊2-2測試題(理科卷)
一、選擇題:本大題共12小題.每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.計(jì)算的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
2.拋物線在點(diǎn)處的切線方程是( )
A. B. C. D.
3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.設(shè)函數(shù),則等于( )
A. B. C. D.
5. 計(jì)算的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
A. B. C. D.
6B.函數(shù)的極大值為,那么的值是( )
A. B. C. D.
7. 一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),由始點(diǎn)經(jīng)過后的距離為,則速度為的時(shí)刻是( )
A. B. C.與 D.與
8. 有一段演繹推理是這樣的:“直線平行于平面,則此直線平行于平面內(nèi)的所有直線;已知直線平面,直線平面,直線平面,則直線直線” .結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,這是因?yàn)椋?nbsp; )
A.大前提錯(cuò)誤 B.推理形式錯(cuò)誤 C.小前提錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤
9. 右圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,
給出下列命題:
①是函數(shù)的極值點(diǎn);
②是函數(shù)的最小值點(diǎn);
③在處切線的斜率小于零;
④在區(qū)間上單調(diào)遞增.
則正確命題的序號(hào)是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
10. 由直線,,曲線及軸所圍成的圖形的面積是( )
A. B. C. D.
11.設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且滿足:“當(dāng)成立時(shí),總可以推出成立”.那么,下列命題總成立的是( )
A.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立
B.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立
C.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立
D.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立
12.已知數(shù)列滿足,,則( )
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.將答案填在題中橫線上.
13. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)____________.
14. 用演繹法證明在區(qū)間為增函數(shù)時(shí)的大前提是____________.
15. 在平面,到一條直線的距離等于定長(為正數(shù))的點(diǎn)的集合是與該直線平行的兩條直線.這一結(jié)論推廣到空間則為:在空間,到一個(gè)平面的距離等于定長的點(diǎn)的集合是 .
16.曲線在點(diǎn)處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為__________.
三、解答題:本大題共3小題,共36分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. (本小題滿分12分)
已知二次函數(shù)在處取得極值,且在點(diǎn)處的切線與直線平行.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
設(shè),,.
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)歸納的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
18B. (本小題滿分12分)
在數(shù)列中,,且,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)歸納的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
已知函數(shù).
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若對(duì)所有都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19 B. (本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式對(duì)一切恒成立,求的取值范圍.
北京市東城區(qū)2008――2009學(xué)年度
高二年級(jí)數(shù)學(xué)選修課程模塊2-2測試題(理科卷)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題4分,共48分)
1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.C
7.C 8.A 9.B 10.D 11.D 12.B
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)
13. 14.增函數(shù)的定義 15.與該平面平行的兩個(gè)平面 16.
三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)
17.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由,可得.
由題設(shè)可得 即
解得,.
所以.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)由題意得,
所以.
令,得,.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
解:(Ⅰ),
,
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,可以歸納出 .
當(dāng)時(shí),,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設(shè)當(dāng)()時(shí),公式成立,即,
那么,.
所以,當(dāng)時(shí)公式也成立.
綜上,對(duì)于任何都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18B. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ),因?yàn)?sub>,
所以,
,解得,
同理.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,可以歸納出 .
當(dāng)時(shí),,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設(shè)當(dāng)()時(shí),公式成立,即.
由可得,.
即 .
所以.
即當(dāng)時(shí)公式也成立.
綜上,對(duì)于任何都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
(Ⅰ)解:的定義域?yàn)?sub>,
的導(dǎo)數(shù).
令,解得;令,解得.
從而在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時(shí),取得最小值. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
(Ⅱ)依題意,得在上恒成立,
即不等式對(duì)于恒成立.
令,
則.
當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,
故是上的增函數(shù), 所以 的最小值是,
從而的取值范圍是. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19B. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由于
當(dāng)時(shí),,
令,可得.
當(dāng)時(shí),,
可知.
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為. ………………………………………………6分
(Ⅱ)設(shè)
當(dāng)時(shí),,
令,可得,即;
令,可得.
可得為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),.
可得為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
函數(shù)的最大值為,
要使不等式對(duì)一切恒成立,
即對(duì)一切恒成立,
又,
可得的取值范圍為. ………………………………………………12分
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