第7講 化歸與轉化的思想在解題中的應用
一、知識整合
1.解決數學問題時,常遇到一些問題直接求解較為困難,通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程,選擇運用恰當的數學方法進行變換,將原問題轉化為一個新問題(相對來說,對自己較熟悉的問題),通過新問題的求解,達到解決原問題的目的,這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”。
2.化歸與轉化思想的實質是揭示聯(lián)系,實現(xiàn)轉化。除極簡單的數學問題外,每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現(xiàn)的。從這個意義上講,解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程;瘹w與轉化的思想是解決數學問題的根本思想,解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是,如未知向已知轉化,復雜問題向簡單問題轉化,新知識向舊知識的轉化,命題之間的轉化,數與形的轉化,空間向平面的轉化,高維向低維轉化,多元向一元轉化,高次向低次轉化,超越式向代數式的轉化,函數與方程的轉化等,都是轉化思想的體現(xiàn)。
3.轉化有等價轉化和非等價轉化。等價轉化前后是充要條件,所以盡可能使轉化具有等價性;在不得已的情況下,進行不等價轉化,應附加限制條件,以保持等價性,或對所得結論進行必要的驗證。
4.化歸與轉化應遵循的基本原則:
(1)熟悉化原則:將陌生的問題轉化為熟悉的問題,以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決。
(2)簡單化原則:將復雜的問題化歸為簡單問題,通過對簡單問題的解決,達到解決復雜問題的目的,或獲得某種解題的啟示和依據。
(3)和諧化原則:化歸問題的條件或結論,使其表現(xiàn)形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式,或者轉化命題,使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。
(4)直觀化原則:將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決。
(5)正難則反原則:當問題正面討論遇到困難時,可考慮問題的反面,設法從問題的反面去探求,使問題獲解。
二、例題分析
例1.某廠2001年生產利潤逐月增加,且每月增加的利潤相同,但由于廠方正在改造建設,元月份投入資金建設恰好與元月的利潤相等,隨著投入資金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建設資金又恰好與12月的生產利潤相同,問全年總利潤m與全年總投入N的大小關系是 ( )
A. m>N B. m<N C.m=N D.無法確定
[分析]每月的利潤組成一個等差數列{an},且公差d>0,每月的投資額組成一個等比數列{bn},且公比q>1。,且,比較與的大小。
若直接求和,很難比較出其大小,但注意到等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d是關于n的一次函數,其圖象是一條直線上的一些點列。等比數列的通項公式bn=a1qn-1是關于n的指數函數,其圖象是指數函數上的一些點列。
在同一坐標系中畫出圖象,直觀地可以看出ai≥bi 則>,即m>N。
[點評]把一個原本是求和的問題,退化到各項的逐一比較大小,而一次函數、指數函數的圖象又是每個學生所熟悉的。在對問題的化歸過程中進一步挖掘了問題的內涵,通過對問題的反思、再加工后,使問題直觀、形象,使解答更清新。
例2.如果,三棱錐P―ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC的公垂線ED=h.求證三棱錐P―ABC的體積.
分析:如視P為頂點,△ABC為底面,則無論是S△ABC以及高h都不好求.如果觀察圖形,換個角度看問題,創(chuàng)造條件去應用三棱錐體積公式,則可走出困境.
解:如圖,連結EB,EC,由PA⊥BC,PA⊥ED,ED∩BC=E,可得PA⊥面ECD.這樣,截面ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD為底面,以PE、AE為高的小三棱錐,而它們的底面積相等,高相加等于PE+AE=PA=l,所以
VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=S△ECD•AE+S△ECD•PE=S△ECD •PA=•BC?ED?PA=.
評注:輔助截面ECD的添設使問題轉化為已知問題迎刃而解.
例3.在的展開式中x的系數為( ).
(A)160 (B)240 (C)360 (D)800
分析與解:本題要求展開式中x的系數,而我們只學習過多項式乘法法則及二項展開式定理,因此,就要把對x系數的計算用上述兩種思路進行轉化:
思路1:直接運用多項式乘法法則和兩個基本原理求解,則展開式是一個關于x的10次多項式, =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2),它的展開式中的一次項只能從5個括號中的一個中選取一次項3x并在其余四個括號中均選 擇常數項2相乘得到,故為?(3x)??24=5×3×16x=240x,所以應選(B).
思路2 利用二項式定理把三項式乘冪轉化為二項式定理再進行計算,∵x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉化方法.①如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉化,可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)5中會有x項,即(3x)?24=240x,故選(B);②如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x進行轉化,則只 (x2+2) 4?3x中含有x一次項,即?3x?C44?24=240x;③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進行轉化,就只有?(x2+3x)?24中會有x項,即240x;④如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進行轉化,=×展開式中的一次項x只能由(1+x)5中的一次項乘以(2+x)5展開式中的常數項加上(2+x)5展開式中的一次項乘以(1+x)5展開式中的常數項后得到,即為x?25+•24•x••15=160x+80x=240x,故選(B).
評注:化歸與轉化的意識幫我們把未知轉化為已知。
例4.若不等式對一切均成立,試求實數的取值范圍。
解:
令,則要使它對均有,只要有
或。
點評:在有幾個變量的問題中,常常有一個變元處于主要地位,我們稱之為主元,由于思維定勢的影響,在解決這類問題時,我們總是緊緊抓住主元不放,這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下,此路往往不通,這時若能變更主元,轉移變元在問題中的地位,就能使問題迎刃而解。本題中,若視x為主元來處理,既繁且易出錯,實行主元的轉化,使問題變成關于p的一次不等式,使問題實現(xiàn)了從高維向低維轉化,解題簡單易行。
三、總結提煉
1.熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎;豐富的聯(lián)想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉化的橋梁;培養(yǎng)訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉,要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質聯(lián)系!白セA,重轉化”是學好中學數學的金鑰匙。
2.為了實施有效的化歸,既可以變更問題的條件,也可以變更問題的結論,既可以變換問題的內部結構,又可以變換問題的外部形式,既可以從代數的角度去認識問題,又可以從幾何的角度去解決問題。
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