題目列表(包括答案和解析)
函數(shù)f(x)=()|cosx|在[-π,π]上的單調(diào)減區(qū)間為_________.
難點磁場
證明:若x>0,則α+β>∵α、β為銳角,∴0<-α<β<;0<-β<,∴0<sin(-α)<sinβ.0<sin(-β)<sinα,∴0<cosα<sinβ,0<cosβ<sinα,∴0<<1,0<<1,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)<f(0)=2.若x<0,α+β<,∵α、β為銳角,0<β<-α<,0<α<-β<,0<sinβ<sin(-α),∴sinβ<cosα,0<sinα<sin(-β),∴sinα<cosβ,∴>1, >1,
∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,∴f(x)<f(0)=2,∴結(jié)論成立.
殲滅難點訓(xùn)練
一、1.解析:函數(shù)y=-xcosx是奇函數(shù),圖象不可能是A和C,又當(dāng)x∈(0, )時,
y<0.
答案:D
2.解析:f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x-1+cosx
答案:D
二、3.解:在[-π,π]上,y=|cosx|的單調(diào)遞增區(qū)間是[-,0]及[,π].而f(x)依|cosx|取值的遞增而遞減,故[-,0]及[,π]為f(x)的遞減區(qū)間.
4.解:由-≤ωx≤,得f(x)的遞增區(qū)間為[-,],由題設(shè)得
三、5.解:(1)∵-1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立,∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.
從而知f(1)=0∴b+c+1=0.
(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因為b+c=-1,∴c≥3.
(3)∵f(sinα)=sin2α+(-1-c)sinα+c=(sinα-)2+c-()2,
當(dāng)sinα=-1時,[f(sinα)]max=8,由解得b=-4,c=3.
6.解:如圖,設(shè)矩形木板的長邊AB著地,并設(shè)OA=x,OB=y,則a2=x2+y2-2xycosα≥2xy-2xycosα=2xy(1-cosα).
∵0<α<π,∴1-cosα>0,∴xy≤ (當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取“=”號),故此時谷倉的容積的最大值V1=(xysinα)b=.同理,若木板短邊著地時,谷倉的容積V的最大值V2=ab2cos,
∵a>b,∴V1>V2
從而當(dāng)木板的長邊著地,并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時,谷倉的容積最大,其最大值為a2bcos.
7.解:如下圖,扇形AOB的內(nèi)接矩形是MNPQ,連OP,則OP=R,設(shè)∠AOP=θ,則
∴PQ=Rsin(45°-θ).S矩形MNPQ=QP?NP=R2sinθsin(45°-θ)=R2?[cos(2θ-45°)-]≤R2,當(dāng)且僅當(dāng)cos(2θ-45°)=1,即θ=22.5°時,S矩形MNPQ的值最大且最大值為R2.
工人師傅是這樣選點的,記扇形為AOB,以扇形一半徑OA為一邊,在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°,P為邊與扇形弧的交點,自P作PN⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q,并作OM⊥OA于M,則矩形MNPQ為面積最大的矩形,面積最大值為R2.
8.解:∵在[-]上,1+sinx>0和1-sinx>0恒成立,∴原函數(shù)可化為y=
log2(1-sin2x)=log2cos2x,又cosx>0在[-]上恒成立,∴原函數(shù)即是y=2log2cosx,在x∈[
∴l(xiāng)og2≤log2cosx≤log21,即-1≤y≤0,也就是在x∈[-]上,ymax=0,
ymin=-1.
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