淮安市2008-2009學(xué)年度高三第三次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)試題 2009.3.31
注意事項(xiàng):中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng)http://www.mathedu.cn
1.本試卷分填空題和解答題兩部分,共160分.考試用時(shí)120分鐘.
2.答題前,考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號寫在答題紙的密封線內(nèi).答題時(shí),填空題和解答題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的空格內(nèi),答案寫在試卷上無效.本卷考試結(jié)束后,上交答題紙.
3.一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.
4.文字書寫題統(tǒng)一使用0.5毫米及0.5毫米以上簽字筆.
5.作圖題可使用2B鉛筆,不需要用簽字筆描。
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分. 不需寫出解答過程.請把答案直接填寫在答案卷上.
1、已知集合若,則實(shí)數(shù)m的值為
2、若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為
3、一個(gè)幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為2的正方形,其俯視圖是直徑為的圓,則該幾何體的表面積為
4、如圖,給出一個(gè)算法的偽代碼,
Read x
If
則
5、已知直線的充要條件是a=
6、高三(1)班共有56人,學(xué)號依次為1,2,3,┅,56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知學(xué)號為6,34,48的同學(xué)在樣本中,那么還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為
7、在一次招聘口試中,每位考生都要在5道備選試題中隨機(jī)抽出3道題回答,答對其中2道題即為及格,若一位考生只會(huì)答5道題中的3道題,則這位考生能夠及格的概率為
8、設(shè)方程
9、已知函數(shù)的值為
10、已知平面區(qū)域,若向區(qū)域U內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為
11、已知拋物線到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線一條漸近線與直線AM垂直,則實(shí)數(shù)a=
12、已知平面向量的夾角為,
13、函數(shù)上的最大值為
14、如圖,將平面直角坐標(biāo)系的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)則表上數(shù)字標(biāo)簽:原點(diǎn)處標(biāo)0,點(diǎn)(1,0)處標(biāo)1,點(diǎn)(1,-1)處標(biāo)2,點(diǎn)(0,-1)處標(biāo)3,點(diǎn)(-1,-1)處標(biāo)4,點(diǎn)(-1,0)標(biāo)5,點(diǎn)(-1,1)處標(biāo)6,點(diǎn)(0,1)處標(biāo)7,以此類推,則標(biāo)簽的格點(diǎn)的坐標(biāo)為
二、解答題:(本大題共6道題,計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本題滿分14分)
在斜三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且.
(1)求角A;
(2)若,求角C的取值范圍。
16.(本題滿分14分)
在在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD為菱形,OA⊥平面ABCD,E為OA的中點(diǎn),F(xiàn)為BC的中點(diǎn),求證:
(1)平面BDO⊥平面ACO;
(2)EF//平面OCD.
17、(本題滿分14分)
已知圓O的方程為且與圓O相切。
(1)求直線的方程;
(2)設(shè)圓O與x軸交與P,Q兩點(diǎn),M是圓O上異于P,Q的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為,直線PM交直線于點(diǎn),直線QM交直線于點(diǎn)。求證:以為直徑的圓C總過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。
18、(本題滿分16分)
有一座大橋既是交通擁擠地段,又是事故多發(fā)地段,為了保證安全,交通部門規(guī)定。大橋上的車距d(m)與車速v(km/h)和車長l(m)的關(guān)系滿足:(k為正的常數(shù)),假定車身長為
(1)寫出車距d關(guān)于車速v的函數(shù)關(guān)系式;
(2)應(yīng)規(guī)定怎樣的車速,才能使大橋上每小時(shí)通過的車輛最多?
19、(本題滿分16分)
已知函數(shù)
(1)試求b,c所滿足的關(guān)系式;
(2)若b=0,方程有唯一解,求a的取值范圍;
(3)若b=1,集合,試求集合A.
20、(本題滿分16分)
已知數(shù)列a,b,c為各項(xiàng)都是正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d(d>0),在a,b之間和b,c之間共插入m個(gè)實(shí)數(shù)后,所得到的m+3個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列是等比數(shù)列,其公比為q.
(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個(gè)數(shù)均為奇數(shù),求所插入的m個(gè)數(shù)的乘積(用a,c,m表示)
(3)求證:q是無理數(shù)。
1.1 2. 3. 4.-8 5. 6.20 7.
8.1 9.0 10. 11. 12. 13. 14.(1005,1004)
15.⑴ ∵ ,……………………………… 2分
又∵ ,∴ 而為斜三角形,
∵,∴. ……………………………………………………………… 4分
∵,∴ . …………………………………………………… 6分
⑵∵,∴ …12分
即,∵,∴.…………………………………14分
16.⑴∵平面,平面,所以,…2分
∵是菱形,∴,又,
∴平面,……………………………………………………4分
又∵平面,∴平面平面. ……………………………………6分
⑵取中點(diǎn),連接,則,
∵是菱形,∴,
∵為的中點(diǎn),∴,………………10分
∴.
∴四邊形是平行四邊形,∴,………………12分
又∵平面,平面.
∴平面. ………………………………………………………………14分
17.(1)∵直線過點(diǎn),且與圓:相切,
設(shè)直線的方程為,即, …………………………2分
則圓心到直線的距離為,解得,
∴直線的方程為,即. …… …………………4分
(2)對于圓方程,令,得,即.又直線過點(diǎn)且與軸垂直,∴直線方程為,設(shè),則直線方程為
解方程組,得同理可得,……………… 10分
∴以為直徑的圓的方程為,
又,∴整理得,……………………… 12分
若圓經(jīng)過定點(diǎn),只需令,從而有,解得,
∴圓總經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為. …………………………………………… 14分
18.⑴因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以, ……4分
∴ ………………………………………………………6分
⑵設(shè)每小時(shí)通過的車輛為,則.即 ……12分
∵,…………………………………………………14分
∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取最大值.
答:當(dāng)時(shí),大橋每小時(shí)通過的車輛最多.………16分
19.(1)由,得
∴b、c所滿足的關(guān)系式為.……………………2分
(2)由,,可得.
方程,即,可化為,
令,則由題意可得,在上有唯一解,…4分
令,由,可得,
當(dāng)時(shí),由,可知是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),由,可知是減函數(shù).故當(dāng)時(shí),取極大值.………6分
由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)或時(shí),方程有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解.
故所求的取值范圍是或. ……………………………………………8分
(3)由,,可得.由且且且.…10分
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí)(),;當(dāng)時(shí),且;
當(dāng)時(shí),∪. ………………………16分
注:可直接通過研究函數(shù)與的圖象來解決問題.
20.(1)由,且等差數(shù)列的公差為,可知,
若插入的一個(gè)數(shù)在之間,則,,
消去可得,其正根為. ………………………………2分
若插入的一個(gè)數(shù)在之間,則,,
消去可得,此方程無正根.故所求公差.………4分
(2)設(shè)在之間插入個(gè)數(shù),在之間插入個(gè)數(shù),則,在等比數(shù)列中,
∵,…,,
∴…… ………………8分
又∵,,都為奇數(shù),∴可以為正數(shù),也可以為負(fù)數(shù).
①若為正數(shù),則…,所插入個(gè)數(shù)的積為;
②若為負(fù)數(shù),…中共有個(gè)負(fù)數(shù),
當(dāng)是奇數(shù),即N*)時(shí),所插入個(gè)數(shù)的積為;
當(dāng)是偶數(shù),即N*)時(shí),所插入個(gè)數(shù)的積為.
綜上所述,當(dāng)N*)時(shí),所插入個(gè)數(shù)的積為;
當(dāng)N*)時(shí),所插入個(gè)數(shù)的積為.…………10分
注:可先將…用和表示,然后再利用條件消去進(jìn)行求解.
(3)∵在等比數(shù)列,由,可得,同理可得,
∴,即, …………………………12分
假設(shè)是有理數(shù),若為整數(shù),∵是正數(shù),且,∴,
在中,∵是的倍數(shù),故1也是的倍數(shù),矛盾.
若不是整數(shù),可設(shè)(其中為互素的整數(shù),),
則有,即,
∵,可得,∴是x的倍數(shù),即是x的倍數(shù),矛盾.
∴ 是無理數(shù).……………………………………16分
附加題部分
21B.設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),在矩陣A變換下得到另一點(diǎn),
則有,…………………………………………………………4分
即 ∴…………………………………8分
又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線上,所以,
故有, 即所得曲線方程.……………………………………… 10分
即,它表示以為圓心,2為半徑的圓, …………………4分
直線方程的普通方程為, ………………6分
圓的圓心到直線的距離,………………………………………………………8分
故所求弦長為. ………………………………………………10分
21D.由柯西不等式可得
.…10分
22.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 以分別為軸,
建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 不妨設(shè) 則
,∴ ,
設(shè)平面的法向量為 則 ①
②
不妨設(shè) 則,即 ……………………2分
∵
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