湖北省八校2009年高考第二次聯(lián)考

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數(shù)學(xué)試題（文）

命題人：襄樊五中  劉軍  何宇飛                        審題人：襄樊四中  何天海

考試時間：2009年3月27日下午15：00―17：30          試卷滿分：150分

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．成立的充要條件是：（     ）

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A．   B．  C．且  D．或

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2．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（    ）

試題詳情

A．  B．  C．   D．

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3．已知、是不共線的向量，，，則、、 三點共線的充要條件是：（    ）

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A．   B．  C．   D．

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4．設(shè)映射是實數(shù)集M到實數(shù)集P的映射，若對于實數(shù)，在M中不存在原象，則的取值范圍是（    ）

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A．    B．    C．    D．

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5．在數(shù)列中，若，且，則（    ）

A．2007    B．2008     C．2009        D．2010

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6．要從10名女生和5名男生中選出6名學(xué)生組成課外興趣小組，如果按性別依比例分層隨機抽樣，則組成此課外興趣小組的概率為（     ）

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A．    B．     C．     D．

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7．已知函數(shù) (其中是自然對數(shù)的底數(shù))的反函數(shù)為，則有（    ）

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A．     B．

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C．      D．

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8．半徑為1的球面上有A，B，C三點，其中點A與B、C兩點間的球面距離均為，

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B、C兩點間的球面距離為，則球心到平面的距離為（    ）

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A．        B       C．       D．

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9．已知函數(shù)，對定義域內(nèi)的任意，都滿足條件．若，，則有（    ）

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A．       B．      C．       D．

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10．已知，若方程的兩個實數(shù)根可以分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率，則（    ）

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A．    B．   C．    D．

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二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．

11．的常數(shù)項是            （用數(shù)學(xué)作答）．

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12．在中，，，所對的邊分別是，，，已知，則            ．

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13．若實數(shù)，滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為        ．

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14．中，，以點為              

一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一         

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個焦點在邊上，且這個橢圓過、           

兩點，則這個橢圓的焦距長為           ．          

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15．已知函數(shù)為偶

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函數(shù)，且滿足不等式，則的值為              ．

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三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16．(本題滿分12分)已知向量，，，．函數(shù)，若的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1，且過點．

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   (Ⅰ)求函數(shù)的表達式．

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   (Ⅱ)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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17．(本題滿分12分)在某社區(qū)舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是．

   (Ⅰ)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率．

  (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．(本題滿分12分)如圖，已知正三棱柱的各棱長都為，為棱上的動點．

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(Ⅰ)當(dāng)時，求證：．                              

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(Ⅱ) 若，求二面角的大小．              

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(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，求點到平面的距離．             

                                                           

                                                           

                                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．(本題滿分12分)已知函數(shù)，函數(shù)的圖像在點的切線方程是．

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    (Ⅰ)求函數(shù)的解析式：

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    (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．(本題滿分13分)過軸上動點引拋物線的兩條切線，，，為切點．

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  (Ⅰ)若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值．

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(Ⅱ) 求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)． 

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(Ⅲ)當(dāng)最小時，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．(本題滿分14分)已知數(shù)列中，，，其前項和滿足，令

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   (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；

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  (Ⅱ)令，求證：

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  ①對于任意正整數(shù)，都有．

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  ②對于任意的，均存在，使得時，．

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過點，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當(dāng)時，

∴當(dāng)時，即時，是減函數(shù)

當(dāng)時，即時，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）當(dāng)時，取的中點，連接，因為為正三角形，則，由于為的中點時，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當(dāng)時，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結(jié)，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設(shè)到面的距離為，則,平面,

即為點到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當(dāng)時，點的坐標(biāo)是

設(shè)平面的一個法向量，則即

取，則，

又平面的一個法向量為

又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設(shè)到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，…………………………8分

故或或

 

或或，或或

實數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設(shè)過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)

由于，故切線的方程是：，又由于點在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點.………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.………………………………………………………………10分

設(shè)

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

 …………3分

檢驗知時，結(jié)論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過的最大整數(shù)），則當(dāng)時，. ………………………………………………………14分

 

 

 


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