已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-2，0）作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線m是過點(diǎn)，且以=（0，1）為方向向量的直線，設(shè)N是直線m上一動點(diǎn)，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-2，0）作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線m是過點(diǎn)，且以=（0，1）為方向向量的直線，設(shè)N是直線m上一動點(diǎn)，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過點(diǎn)，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當(dāng)時，

∴當(dāng)時，即時，是減函數(shù)

當(dāng)時，即時，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）當(dāng)時，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>為正三角形，則，由于為的中點(diǎn)時，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當(dāng)時，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結(jié)，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設(shè)到面的距離為，則,平面,

即為點(diǎn)到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)是

設(shè)平面的一個法向量，則即

取，則，

又平面的一個法向量為

又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設(shè)到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點(diǎn)處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，…………………………8分

故或或

或或，或或

實(shí)數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設(shè)過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)

由于，故切線的方程是：，又由于點(diǎn)在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點(diǎn).………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.………………………………………………………………10分

設(shè)

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

 …………3分

檢驗(yàn)知時，結(jié)論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過的最大整數(shù)），則當(dāng)時，. ………………………………………………………14分