2009年福建省廈門市高中畢業(yè)班適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理科）試卷

注意事項(xiàng)：

1.本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)、姓名；

2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

參考公式：

柱體體積公式：，其中為底面面積、為高；                                                      

錐體體積公式：，其中為底面面積，為高；

獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量

臨界值表

0.50

0.40

0.25

0.16

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k₀

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

第Ⅰ卷 （選擇題  共50分）

一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題所給的四個(gè)答案中有且只有一個(gè)答案是正確的）

 

1．如果復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)的值是

    A．        B．      C．      D．

 

2．已知a>0，命題，則

．是假命題，：　

．是假命題，：　

．是真命題，：　

．是真命題，：

 

3．積分的值是

A. 1          B. e        C. e+1        D. e²

 

4．執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸出y的值為2，則輸入的x應(yīng)該是

A．或   B．或    C． 　 D．或

5．點(diǎn)P滿足向量 =2-,則點(diǎn)P與AB的位置關(guān)系是

A. 點(diǎn)P在線段AB上              B. 點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上

C. 點(diǎn)P在線段AB反向延長(zhǎng)線上    D. 點(diǎn)P在直線AB外

6．函數(shù)f(x)=的圖象大致是

 

 

 

 

 

7．為了了解高中生作文成績(jī)與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了60名高中生，通過問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：          

 

作文成績(jī)優(yōu)秀

作文成績(jī)一般

合   計(jì)

課外閱讀量較大

22

10

32

課外閱讀量一般

8

20

28

合   計(jì)

30

30

60

     由以上數(shù)據(jù)，計(jì)算得出．根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是

A．沒有充足的理由認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)

B. 有0.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)

C．有99.9%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)

D．有99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)

8．如圖，已知三棱柱ABC-的所有棱長(zhǎng)均為1，且A₁A⊥底面ABC,則三棱錐B₁-ABC₁ 的體積為

A．      B．       C．        D．

9．函數(shù)  ，給出下列四個(gè)命題

（1）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

（2）直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；

（3）函數(shù) 的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移而得到；

（4）若  ，則 的值域是 

其中正確命題的個(gè)數(shù)是

A．1         B．2         C．3           D．4

10．學(xué)習(xí)合情推理后，甲、乙兩位同學(xué)各舉一個(gè)例子.

甲:由“若三角形周長(zhǎng)為l,面積為S,則其內(nèi)切圓半徑r =”類比可得“若三棱錐表面積為S,體積為V,則其內(nèi)切球半徑r =”;

乙: 由“若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,則其外接圓半徑r =” 類比可得“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直, 側(cè)棱長(zhǎng)分別為a、b、c,則其外接球半徑r =”.這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論

A.兩人都對(duì)        B.甲錯(cuò)、乙對(duì)      C. 甲對(duì)、乙錯(cuò)           D. 兩人都錯(cuò)

第Ⅱ卷 （非選擇題 共100分）

二．填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，將答案填在題后的橫線上．）

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三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

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一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算. 每題5分，滿分50分.

       1. B  2.A  3.D  4.D  5.C  6.B  7.D  8.A  9.B  10.C

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算. 每題4分，滿分20分.

       11.  31     12.  15   13.  16     14.  4  

15.  16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

 

16．本題主要考查頻率分布表、直方圖、眾數(shù)、分層抽樣、分布列、期望等統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力。滿分13分.

解：（I）①處填20，②處填0.35；

眾數(shù)為172.5cm……………3分

補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示。

…………6分

                                                              

（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選

取20人,則其中“身高低于170cm”

的有5人，“身高不低于170cm”

的有15人。      ……7分

故ξ的可能取值為0，1，2，3；

           …………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

                                                                  …………11分

所以：                    …………13分

 

17. 本題主要考查三視圖,線面位置關(guān)系，二面角的求法等基本知識(shí)，考查空間想像能力，探索運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

法一:(Ⅰ)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,

∴BA,BC,BB₁兩兩垂直.

以BA,BC,BB₁分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,……1分

則N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)

∵=(4,4,0)?(-4,4,0)=-16+16=0

=(4,4,0)?(0,0,4)=0              ……3分

 

∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁,

∴BN⊥平面C₁B₁N;                                                    ……4分

(Ⅱ)∵BN⊥平面C₁B₁N, 是平面C₁B₁N的一個(gè)法向量=(4,4,0),           ……5分

設(shè)=(x,y,z)為平面NCB₁的一個(gè)法向量,

則，取=(1,1,2),     …7分

則cosθ===;                                ……9分

(Ⅲ)∵M(jìn)(2,0,0).設(shè)P(0,0,a)為BC上一點(diǎn),則=(-2,0,a)，∵M(jìn)P∥平面CNB₁,

∴⊥?=(-2,0,a) ?(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1.                ……12分

又MP平面CNB₁, ∴MP∥平面CNB₁, ∴當(dāng)BP=1時(shí)MP∥平面CNB₁.     ……13分

 

法二:(Ⅰ)證明:由已知得B₁C₁⊥平面BNB₁,∴B₁C₁⊥BN,

BN=4= B₁N,BB₁=8, ∴BB₁²= BN²+ B₁N², ∴BN⊥B₁N

又B₁C₁與B₁N交于B₁, ∴BN⊥平面C₁B₁N；

(Ⅱ)過N作NQB₁C₁,則BCQN,又BN⊥平面C₁B₁N,

∴CQ⊥平面C₁B₁N,則CQ⊥B₁N, QN⊥B₁N ,∴∠CNQ是二面角C-B₁N-Q的平面角θ,

在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ==;

(Ⅲ)延長(zhǎng)BA、B₁N交于R,連結(jié)CR,∵M(jìn)P∥平面CNB₁,

MP平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,

∴MP∥CR, △RB₁B中ANBB₁,∴A為RB中點(diǎn),

∴==,∴BP=1,因此存在P點(diǎn)使MP∥平面CNB₁.         ……………13分

18.本題主要考查學(xué)生運(yùn)用正弦和余弦定理解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問題的能力，考查學(xué)生的運(yùn)算能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。滿分13分.

法一:1、在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°…2分

         ……………………4分

在中，

            ……………6分

在中，DC²=DB²+BC²-2DB?BCcos60°=(80)²+(40)²-2×80×40×

=9600                                                       ……………10分

                                             ………………11分

航模的速度（米/秒）                          ……………12分

答：航模的速度為2（米/秒）                              ……………13分

法二:（略解）、在中，中

在 中，DC²=AD²+AC²-2AD?ACcos60°=9600          ……………10分

                    ……………11分

航模的速度（米/秒）   ………12分

答：航模的速度為2（米/秒）   ……………13分

 

法三:（略解）、如圖建立直角坐標(biāo)系，

則A(0，0)， B(80，0)， D(0，80）   …………2分

由，AC=40（1+）,∴C(60+20,20+20)         ……………7分

    ……………11分

航模的速度（米/秒）                          ……………12分

答：航模的速度為2（米/秒）                              ……………13分

 

19、本題主要考查直線、圓與橢圓的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和探索求解、分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解： (Ⅰ) 設(shè)C（x, y）, ∵ , , ∴ ,

∴ 由定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓,除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)橢圓方程為

則a=3,c=2.∴b²=a²-c²=5.∴ 曲線M的方程為:  (y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分

(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法k_DE=1,

由得14y²+30y=0,又y≠0, ∴y=-,代入DE得x=,

由對(duì)稱性知定點(diǎn)在x軸上, ∴最多只有定點(diǎn)Q……8分

設(shè)直線DE的方程為x=my+3,E(x₁,y₁),

由得(5m²+9)y²+30my=0, 又y≠0, ∴y₁=-

∴E(,-),                                     …………………10分

同理F(,)                                     …………………11分

k_QE-k_QF=-=-=0

得E、Q、F三點(diǎn)共線,得出定點(diǎn)坐標(biāo)為．                     …………………13分

法二:當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yx=kx+m,E(x₁,y₁),F(x₁,y₁)，

由得，

由△=(18mk)²-36(5+9k²)(m²-5)>0, 得5+9k²- m²>0,

                        ………………………8分

又，

因?yàn)橐訣F為直徑的圓過點(diǎn)等價(jià)于，即

，，

.解得：，，且均滿足，

當(dāng)m₁=-3k時(shí)，l的方程為y=k(x-3)，直線過點(diǎn)Q(3,0)，因?yàn)辄c(diǎn)Q不在曲線M上，此時(shí)l與曲線M沒有兩個(gè)公共點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)．      ……………11分

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線與曲線M交于兩點(diǎn)，此時(shí)

，由，得，點(diǎn)在曲線M上，，所以，解得，即直線 滿足條件.

  ∴直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．             ……………………………13分

20. 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)及用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)性質(zhì)，遞推數(shù)列及不等式、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等及推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)．滿分14分.

解: (Ⅰ)f '(x)= -,又函數(shù)f(x)在x=1處有極值,∴f '(1)=0,a=1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意 ……2分

g'(x)= -,

當(dāng)x∈(0,1)時(shí), g'(x)<0, g(x)為減函數(shù), 當(dāng)x =1時(shí),g'(x)=0, 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)g'(x)>0，g(x)為增函數(shù),∴g(x)在x =1時(shí)取得極小值g(1)=2+b,依題意g(1)≤0, ∴b≤-2,

∴b的最大值為-2;                     ………………………………………………4分

(Ⅱ)f '(x)= -,

當(dāng)f (x)在(1，2)上單調(diào)遞增時(shí), -≥0在[1，2]上恒成立, ∴a ≤x²,令h(x)= x²,

則h'(x)=