題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分13分)有一問題,在半小時(shí)內(nèi),甲能解決它的概率是0.5,乙能解決它的概率是,
如果兩人都試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它,計(jì)算:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)兩人都未解決的概率;
(2)問題得到解決的概率。
(本小題滿分13分) 已知是等比數(shù)列, ;是等差數(shù)列, , .
(1) 求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè)+…+,…,其中,…試比較與的大小,并證明你的結(jié)論.
(本小題滿分13分) 現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運(yùn)往B地,已知貨船的最大航行速度為35海里/小時(shí),A地至B地之間的航行距離約為500海里,每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成,輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)用與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6),其余費(fèi)用為每小時(shí)960元.
(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時(shí))的函數(shù);
(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,輪船應(yīng)以多大速度行駛?
(本小題滿分13分)
如圖,ABCD的邊長為2的正方形,直線l與平面ABCD平行,g和F式l上的兩個(gè)不同點(diǎn),且EA=ED,F(xiàn)B=FC, 和是平面ABCD內(nèi)的兩點(diǎn),和都與平面ABCD垂直,
(Ⅰ)證明:直線垂直且平分線段AD:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面
體ABCDEF的體積。
一、選擇題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算. 每題5分,滿分50分.
1. B 2.A 3.D 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C
二、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算. 每題4分,滿分20分.
11. 31 12. 15 13. 16 14. 4
15. 16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13.
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.本題主要考查頻率分布表、直方圖、眾數(shù)、分層抽樣、分布列、期望等統(tǒng)計(jì)概率知識(shí),考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力。滿分13分.
解:(I)①處填20,②處填0.35;
眾數(shù)為
補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示。
…………6分
(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從中選
取20人,則其中“身高低于
的有5人,“身高不低于
的有15人。 ……7分
故ξ的可能取值為0,1,2,3;
…………………10分
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
…………11分
所以: …………13分
17. 本題主要考查三視圖,線面位置關(guān)系,二面角的求法等基本知識(shí),考查空間想像能力,探索運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.
法一:(Ⅰ)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,
∴BA,BC,BB1兩兩垂直.
以BA,BC,BB1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,……1分
則N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)
∵=(4,4,0)?(-4,4,0)=-16+16=0
=(4,4,0)?(0,0,4)=0 ……3分
∴BN⊥NB1, BN⊥B
∴BN⊥平面C1B1N; ……4分
(Ⅱ)∵BN⊥平面C1B1N, 是平面C1B1N的一個(gè)法向量=(4,4,0), ……5分
設(shè)=(x,y,z)為平面NCB1的一個(gè)法向量,
則,取=(1,1,2), …7分
則cosθ===; ……9分
(Ⅲ)∵M(jìn)(2,0,0).設(shè)P(0,0,a)為BC上一點(diǎn),則=(-2,0,a),∵M(jìn)P∥平面CNB1,
∴⊥?=(-2,0,a) ?(1,1,2)=-2+
又MP平面CNB1, ∴MP∥平面CNB1, ∴當(dāng)BP=1時(shí)MP∥平面CNB1. ……13分
法二:(Ⅰ)證明:由已知得B
BN=4= B1N,BB1=8, ∴BB12= BN2+ B1N2, ∴BN⊥B1N
又B
(Ⅱ)過N作NQB
∴CQ⊥平面C1B1N,則CQ⊥B1N, QN⊥B1N ,∴∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角θ,
在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ==;
(Ⅲ)延長BA、B1N交于R,連結(jié)CR,∵M(jìn)P∥平面CNB1,
MP平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,
∴MP∥CR, △RB1B中ANBB1,∴A為RB中點(diǎn),
∴==,∴BP=1,因此存在P點(diǎn)使MP∥平面CNB1. ……………13分
18.本題主要考查學(xué)生運(yùn)用正弦和余弦定理解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問題的能力,考查學(xué)生的運(yùn)算能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。滿分13分.
法一:1、在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°…2分
……………………4分
在中,
……………6分
在中,DC2=DB2+BC2-2DB?BCcos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×
=9600 ……………10分
………………11分
航模的速度(米/秒) ……………12分
答:航模的速度為2(米/秒) ……………13分
法二:(略解)、在中,中
在 中,DC2=AD2+AC2-2AD?ACcos60°=9600 ……………10分
……………11分
航模的速度(米/秒) ………12分
答:航模的速度為2(米/秒) ……………13分
法三:(略解)、如圖建立直角坐標(biāo)系,
則A(0,0), B(80,0), D(0,80) …………2分
由,AC=40(1+),∴C(60+20,20+20) ……………7分
……………11分
航模的速度(米/秒) ……………12分
答:航模的速度為2(米/秒) ……………13分
19、本題主要考查直線、圓與橢圓的位置關(guān)系等基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力和探索求解、分析問題、解決問題的能力. 滿分13分
解: (Ⅰ) 設(shè)C(x, y), ∵ , , ∴ ,
∴ 由定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),長軸長為6的橢圓,除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).
設(shè)橢圓方程為
則a=3,c=2.∴b2=a2-c2=5.∴ 曲線M的方程為: (y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分
(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法kDE=1,
由得14y2+30y=0,又y≠0, ∴y=-,代入DE得x=,
由對(duì)稱性知定點(diǎn)在x軸上, ∴最多只有定點(diǎn)Q……8分
設(shè)直線DE的方程為x=my+3,E(x1,y1),
由得(
∴E(,-), …………………10分
同理F(,) …………………11分
kQE-kQF=-=-=0
得E、Q、F三點(diǎn)共線,得出定點(diǎn)坐標(biāo)為. …………………13分
法二:當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為yx=kx+m,E(x1,y1),F(x1,y1),
由得,
由△=(18mk)2-36(5+9k2)(m2-5)>0, 得5+9k2- m2>0,
………………………8分
又,
因?yàn)橐訣F為直徑的圓過點(diǎn)等價(jià)于,即
,,
.解得:,,且均滿足,
當(dāng)m1=-3k時(shí),l的方程為y=k(x-3),直線過點(diǎn)Q(3,0),因?yàn)辄c(diǎn)Q不在曲線M上,此時(shí)l與曲線M沒有兩個(gè)公共點(diǎn),不合題意;
當(dāng)時(shí),的方程為,直線過定點(diǎn). ……………11分
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線與曲線M交于兩點(diǎn),此時(shí)
,由,得,點(diǎn)在曲線M上,,所以,解得,即直線 滿足條件.
∴直線過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為. ……………………………13分
20. 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)及用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)性質(zhì),遞推數(shù)列及不等式、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查考生函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等及推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí).滿分14分.
解: (Ⅰ)f '(x)= -,又函數(shù)f(x)在x=1處有極值,∴f '(1)=0,a=1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意 ……2分
g'(x)= -,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí), g'(x)<0, g(x)為減函數(shù), 當(dāng)x =1時(shí),g'(x)=0, 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),∴g(x)在x =1時(shí)取得極小值g(1)=2+b,依題意g(1)≤0, ∴b≤-2,
∴b的最大值為-2; ………………………………………………4分
(Ⅱ)f '(x)= -,
當(dāng)f (x)在(1,2)上單調(diào)遞增時(shí), -≥0在[1,2]上恒成立, ∴a ≤x2,令h(x)= x2,
則h'(x)=
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