Question

如圖所示，有三個寬度均為d的區(qū)域I、Ⅱ、Ⅲ；在區(qū)域I和Ⅲ內(nèi)分別為方向垂直于紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場（虛線為磁場邊界面，并不表示障礙物），區(qū)域I磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，某種帶正電的粒子，從孔O₁以大小不同的速度沿圖示與aa'夾角α=30°的方向進(jìn)入磁場（不計重力），已知速度為υ_o和2υ_o時，粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動時間相同，均為t_o；速度為υ時粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)時間為

to

5

．求：
（1）粒子的比荷

q

m

和區(qū)域I的寬度d；
（2）若區(qū)域Ⅲ磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，速度為υ的粒子打到邊界cc'上的位置P點到O₂點的距離；
（3）若在圖中區(qū)域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強(qiáng)電場，O₁O₂下方對稱加豎直向上的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小相等，使速度為υ的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點，則所加電場場強(qiáng)和區(qū)域Ⅲ磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為多大？并求出粒子在場中運(yùn)動的總時間．

Answer 1

分析：（1）速度為υ_o和2υ_o時粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動時間相同，故粒子運(yùn)動的軌跡對應(yīng)的圓心角相同，故只能在區(qū)域I中運(yùn)動，故其軌跡所對應(yīng)的圓心角為300°=

5π

3

，根據(jù)周期公式通過運(yùn)動的時間求出粒子的比荷．速度為υ時粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)時間為

to

5

，求出對應(yīng)的圓心角，根據(jù)粒子的半徑結(jié)合幾何關(guān)系求出區(qū)域I的寬度d．
（2）根據(jù)運(yùn)動的對稱性，結(jié)合幾何關(guān)系求出速度為υ的粒子打到邊界cc'上的位置P點到O₂點的距離．
（3）度為υ的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點，根據(jù)要求作出運(yùn)動的軌跡圖，根據(jù)粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，結(jié)合運(yùn)動的周期性求出電場強(qiáng)度的大小，進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，在磁場中運(yùn)動180°出磁場，根據(jù)半徑的大小關(guān)系求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．分別求出粒子在電場中和磁場中運(yùn)動的時間，從而求出總時間．

解答：解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，故有：qvB=

mv2

R

，解得：R=

mv

qB

，
根據(jù)運(yùn)動的周期：T=

2πR

v

可得粒子運(yùn)動的周期：T=

2πm

qB

由速度為υ_o和2υ_o時粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動時間相同，故粒子運(yùn)動的軌跡對應(yīng)的圓心角相同，故只能在區(qū)域I中運(yùn)動，故其軌跡所對應(yīng)的圓心角為300°=

5π

3

，所以根據(jù)

t0

T

=

5π 3

2π

，解得：t0=

5

6

T=

5πm

3qB

所以粒子的比荷：

q

m

=

5π

3Bt0

當(dāng)速度為v時，t=

t0

5

，則軌跡對應(yīng)的圓心角θ=60°，而此時粒子的軌道半徑：R=

mv

qB

，
所以區(qū)域I的寬度為：d=Rsin60°=

3 3 vt0

10π

（2）lo2p=2(R-Rcos60°)=

3vt0

5π

（3）粒子做類平拋運(yùn)動，有：

R

2

=

Eq

2m

t2      
根據(jù)運(yùn)動的對稱性及周期性知：2x+4nx=d（n=0、1、2、3…）    
x=vt
得E=

16

3

Bv(2n+1)2     B'=2B
t電=

2d

v

=

3 3 t0

5π

t_磁=

T

3

+

T

2

=

7

10

t0
綜上 t=

7

10

t0+

3 3 t0

5π

．
答：（1）粒子的比荷

q

m

為

5π

3Bt0

．區(qū)域I的寬度d為

3 3 vt0

10π

．
（2）速度為υ的粒子打到邊界cc'上的位置P點到O₂點的距離

3vt0

5π

．
（3）所加的電場強(qiáng)度E=

16

3

Bv(2n+1)2，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B．粒子在場中運(yùn)動的總時間t=

7

10

t0+

3 3 t0

5π

．

點評：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動是整個高中的重點，也是高考的必考的內(nèi)容，粒子的運(yùn)動過程的分析是解題的關(guān)鍵．