Question

（2013?福建模擬）如圖所示，有三個(gè)寬度均為d的區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ內(nèi)分別有方向垂直于紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（虛線為磁場(chǎng)邊界，并不表示障礙物），區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，區(qū)域Ⅲ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知．質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從孔O₁以大小不同的速率沿圖示與aa′夾角a=30°的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子重力忽略不計(jì)．
（1）若粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好不從邊界bb'射出，求粒子在該區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）若粒子經(jīng)區(qū)域Ⅰ運(yùn)動(dòng)后恰好垂直邊界bb'射入?yún)^(qū)域Ⅱ，求粒子從孔O₁入射速度v的大小；
（3）若在區(qū)域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，O₁O₂下方對(duì)稱加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等，使第（2）問中的粒子每次均垂直穿過界bb'和cc'并能回到O₁點(diǎn)，求粒子從O₁出發(fā)至回到O₁運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間及所加電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，在洛倫茲力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恰好不從邊界bb'射出時(shí)軌跡恰好與邊界bb'相切，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出軌跡所對(duì)的圓心角θ，由t=

θ

2π

T求出時(shí)間．
（2）粒子經(jīng)區(qū)域Ⅰ運(yùn)動(dòng)后恰好垂直邊界bb'射入?yún)^(qū)域Ⅱ時(shí)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子的軌跡半徑，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子從孔O₁入射速度v的大�。�
（3）使第（2）問中速度為υ的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點(diǎn)，根據(jù)要求作出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的周期性求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)180°出磁場(chǎng)，根據(jù)半徑的大小關(guān)系求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�分別求出粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出總時(shí)間．

解答：解：（1）粒子恰好不從邊界bb′射出，軌跡如左圖所示
  t=

5

6

T₁  ①
 T₁=

2πm

qB

   ②
由①、②式解得：t=

5πm

3qB

（2）垂直邊界bb'射出的軌跡如圖所示，轉(zhuǎn)過的圓心角得：θ=60°
由幾何關(guān)系可知：d=Rsin60°
得：R=

2 3

3

d  ③
由qvB=m

v2

R

得：v=

RqB

m

  ④
把③式代人④得：v=

2 3 Bqd

3m

（3）在區(qū)域Ⅲ中：R′=

R

2

，才能返回區(qū)域Ⅱ，
則 B′=2B
 t_電=

2d

v

=

3 m

Bq

 t_磁=

T1

3

+

T2

2

=

7mπ

6Bq

則 t=t_電+t_磁=

3 m

Bq

+

7mπ

6Bq

設(shè)在區(qū)域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)水平為位移為x，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，能垂直邊界進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ，則應(yīng)滿足：
 

R

2

=

1

2

at2=

Eq

2m

t²  ⑤
  x=vt ⑥
（2n+1）×2x=d  （n=0、1、2、3…） ⑦
由③⑤⑥⑦式得：E=

32 3 qdB2(2n+1)2

9m

 （n=0、1、2、3…）
另外求時(shí)間t也可用：
t=

1

2

×

t電

2(2n+1)

=

3 m qB

4(2n+1)

=

3 m

4(2n+1)qB

  ⑧
由③⑤⑧式得：E=

32 3 qdB2(2n+1)2

9m

 （n=0、1、2、3…）
答：（1）粒子在該區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

5πm

3qB

；（2）粒子從孔O₁入射速度v的大小為

2 3 Bqd

3m

；
（3）粒子從O₁出發(fā)至回到O₁運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

3 m

4(2n+1)qB

，所加電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

32 3 qdB2(2n+1)2

9m

（n=0、1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是整個(gè)高中的重點(diǎn)，也是高考的必考的內(nèi)容，粒子的運(yùn)動(dòng)過程的分析是解題的關(guān)鍵．