Question

如圖所示，水平放置的平行金屬板A和B的間距為d，極板長為2d；金屬板右側(cè)用三塊擋板MN、NP、PM圍成一個等腰直角三角形區(qū)域，頂角NMP為直角，MN擋板上的中點處有一個小孔K恰好位于B板的右端，已知水平擋板NP的長度為

.

NP

=2

2

a．由質(zhì)量為m、帶電量為+q的同種粒子組成的粒子束，以速度v₀從金屬板A、B左端沿緊貼板A但不接觸板A處射入，不計粒子所受的重力，若在A、B板間加一恒定電壓，使粒子穿過金屬板后恰好打到小孔K．求：
（1）所施加的恒定電壓的大�。�
（2）現(xiàn)允許在擋板圍成的三角形區(qū)域內(nèi)，加一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，要使從小孔K飛入的粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后能直接（不與其他擋板碰撞）打到擋板MP上，求所加磁場的方向和磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）在第（2）問的前提下，以M為原點，沿MP方向建立x軸，求打到擋板MP上不同位置（用坐標(biāo)x表示）的粒子在磁場中的運(yùn)動時間．

Answer 1

分析：（1）、由題意可分析出帶電粒子在兩金屬板間豎直方向的位移為d，水平方向的位移為2d，水平方向上做勻速直線運(yùn)動，豎直方向上做自由落體運(yùn)動，運(yùn)用類平拋運(yùn)動的知識可求出所施加的恒定電壓．
（2）、根據(jù)題意，首先運(yùn)用速度的合成求出帶電粒子進(jìn)入三角形區(qū)域時的速度，由偏轉(zhuǎn)方向和左手定則可得知磁場的方向；再找出兩個臨界半徑，一是帶電粒子偏轉(zhuǎn)軌道與NP相切時的軌道半徑，二是正好達(dá)到M點時的軌道半徑，從而確定軌道半徑的范圍，由帶電粒子在磁場中受到的洛倫茲力提供向心力公式（qvB=m

v2

R

），即可求出所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍．
（3）、由射入磁場時的速度方向和達(dá)到MP時的速度方向確定圓心，由幾何關(guān)系找出半徑R與x的關(guān)系式，以及在磁場中運(yùn)動的偏轉(zhuǎn)角，再通過運(yùn)動時間、偏轉(zhuǎn)角和周期T的關(guān)系（t=

a

2π

T）可求出運(yùn)動時間．

解答：解：
（1）由于帶電粒子做類平拋運(yùn)動，則有：
2d=v₀t…①
d=

1

2

qU0

md

t2…②
①②聯(lián)立得：U0=

m v 2 0

2q

…③
（2）設(shè)粒子在進(jìn)入K時，豎直方向的分速度為v_y，則有：
vy=at=

qU0

md

?

2d

v0

=v0…④
tanθ=

vy

v0

=1
得：v=

v 2 0 + v 2 y

 =

2

v0…⑤
可知當(dāng)θ=45°時，即粒子垂直MN板射入時，要使粒子直接打到MP板上，根據(jù)左手定則，可知所加磁場的方向垂直紙面向內(nèi)．如圖所示，當(dāng)粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，偏轉(zhuǎn)半徑最大時恰好與NP相切；偏轉(zhuǎn)半徑最小時，KM為運(yùn)動圓周的直徑，設(shè)最大半徑為R_M，則由幾何關(guān)系可知，△NMP與△NQO₁相似，則有：

NO1

NP

=

O1Q

MP

a+Rm

2 2 a

=

Rm

2a

得：Rm=(

2

+1)a…⑥
因此，粒子做圓周運(yùn)動的半徑范圍為：

a

2

＜R＜(

2

+1)a…⑦
由于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，故洛倫茲力提供向心力，即：
qvB=m

v2

R

…⑧
聯(lián)立⑤⑥⑦⑧式可得所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍為：

(2- 2 )mv0

qa

 ＜B＜

2 2 mv0

qa

…⑨
（3）設(shè)粒子打到MP時，坐標(biāo)為x，設(shè)偏轉(zhuǎn)角為α，則由幾何關(guān)系可得：
（R-a）²+x²=R²，sin α=

x

R

…⑩
對應(yīng)粒子在磁場中的運(yùn)動時間為：t=

a

2π

T 而T=

2πm

qB

…（11）
由⑧⑩（11）三式可得：t=

(x2+a2)arcsin  2ax x2+a2

2 2 av0

…（12）
經(jīng)分析（12）式只適用于a＜

π

2

時
當(dāng)a＞

π

2

時，t=

(x2+a2)(π-arcsin 2ax x2+a2 )

2 2 av0

答：（1）所施加的恒定電壓的大小為U0=

m v 2 0

2q

（2）所加磁場的方向為垂直紙面向內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍為

(2- 2 )mv0

qa

＜B＜

2 2 mv0

qa

（3）、當(dāng)偏轉(zhuǎn)角a＜

π

2

時，時間為t=

(x2+a2)arcsin 2ax x2+a2

2 2 av0

；當(dāng)a＞

π

2

時，時間為t=

(x2+a2)(π-arcsin 2ax x2+a2 )

2 2 av0

點評：帶電粒子在電場中的運(yùn)動，綜合了靜電場和力學(xué)的知識，分析方法和力學(xué)的分析方法基本相同．先分析受力情況再分析運(yùn)動狀態(tài)和運(yùn)動過程（平衡、加速、減速，直線或曲線），然后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律解題．解決這類問題的基本方法有兩種，第一種利用力和運(yùn)動的觀點，選用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求解；第二種利用能量轉(zhuǎn)化的觀點，選用動能定理和功能關(guān)系求解．
本題將有界磁場變?yōu)槿�角形磁場，仍然突出考查單一物體的多過程問題．帶電粒子在電場、磁場中的運(yùn)動，涉及到電場、磁場的基本概念和規(guī)律，與力學(xué)中的牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)公式、動能定理、平拋運(yùn)動規(guī)律、勻速圓周運(yùn)動規(guī)律等聯(lián)系密切，綜合性大，能充分考查考生的綜合分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力．解此類問題的關(guān)鍵是做出帶電粒子運(yùn)動的軌跡圖，抓住物理過程變化的轉(zhuǎn)折點（列出對應(yīng)的狀態(tài)方程），找出粒子運(yùn)動的半徑與磁場邊界的約束關(guān)系．