Question

（2013?南通二模）如圖甲所示，在邊界OO′左側(cè)區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向水平向外．右側(cè)水平放置長(zhǎng)為L(zhǎng)、相距為d的平行金屬板M、N，M板左端緊靠磁場(chǎng)邊界，磁場(chǎng)邊界O點(diǎn)與N板在同一水平面上，邊界OO′與水平面的夾角為45°，O₁O₂為平行板的中線，在兩板間存在如圖乙所示的交變電場(chǎng)（取豎直向下為正方向）．某時(shí)刻從O點(diǎn)豎直向上同時(shí)發(fā)射兩個(gè)質(zhì)量均為m、電量均為+q粒子a和b，由于初速度不同，粒子a在圖乙中的t=

T

4

時(shí)刻，從O₁點(diǎn)進(jìn)入板間電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，并從O₂點(diǎn)射出板間電場(chǎng)；粒子b恰好緊靠M板進(jìn)入電場(chǎng)，已知交變電場(chǎng)周期T=

4m

qB

，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用．
（1）求粒子a、b從O點(diǎn)射出時(shí)的初速度v_a和v_b．
（2）粒子b能穿出板間電場(chǎng)，求電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀滿足的條件．
（3）若粒子b剛好能穿出板間電場(chǎng)，求粒子b穿過(guò)板間電場(chǎng)過(guò)程中電場(chǎng)力做的功W．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意正確畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的軌跡，在根據(jù)軌跡上的幾何關(guān)系確定粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛倫茲力提供向心力求得速度；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，進(jìn)而確定粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，最后求出電場(chǎng)強(qiáng)度滿足的條件；

解答：解：（1）如圖甲所示，粒子a、b在磁場(chǎng)中均轉(zhuǎn)過(guò)90°，平行于金屬板進(jìn)入電場(chǎng)，設(shè)在磁場(chǎng)中回旋半徑分別是r_a和r_b，則由幾何關(guān)系有
ra=

d

2

；  r_b=d
由洛倫茲力提供向心力有：qvaB=

m v 2 a

ra

；qvbB=

m v 2 b

rb

解得va=

qBd

2m

；vb=

qBd

m

（2）粒子a、b同時(shí)離開(kāi)磁場(chǎng)，a比b進(jìn)入電場(chǎng)落后的時(shí)間  △t=

d

2va

解得  △t=

m

qB

=

T

4

粒子b在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度：a=

qE0

m

粒子a在豎直方向速度隨時(shí)間的變化圖象如圖乙，在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：ta=

L

va

=kT（k為正整數(shù)）
粒子b在豎直方向速度隨時(shí)間的變化圖象如圖丙，在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：tb=

L

vb

=

kT

2

粒子b在

T

2

內(nèi)沿豎直方向運(yùn)動(dòng)的位移：y0=

1

2

a(

T

2

)2
粒子b能夠穿出板間電場(chǎng)應(yīng)滿足  ky₀≤d
解得E0≤

qd2B2

mL

（3）由上述可知  E0=

qd2B2

mL

粒子b在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t0=

L

v0

=k

T

2

則 k=

L

2d

討論：k是下列兩種可能之一
①若k為偶數(shù)，粒子b在豎直方向的速度v_y=0
則  W=0
②若k為奇數(shù)  W=qE0?

1

2

a(

T

2

)2
解得 W=

2q2d4B2

mL2

答：（1）粒子a、b從O點(diǎn)射出時(shí)的初速度va=

qBd

2m

和vb=

qBd

m

．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀滿足的條件E0≤

qd2B2

mL

．
（3）粒子b穿過(guò)板間電場(chǎng)過(guò)程中電場(chǎng)力做的功W=

2q2d4B2

mL2

．

點(diǎn)評(píng)：做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析，難度較大