Question

6．在太陽系外發(fā)現(xiàn)的某恒星a的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的0.3倍，該恒星的一顆行星b的質(zhì)量是地球的4倍，直徑是地球的1.5倍，公轉(zhuǎn)周期為10天．設(shè)該行星與地球均為質(zhì)量分布均勻的球體，且分別繞其中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（　�。�

• A． 行星b的第一宇宙速度與地球相同
• B． 行星b繞恒星a運(yùn)行的角速度大于地球繞太陽運(yùn)行的角速度
• C． 如果將物體從地球搬到行星b上，其重力是在地球上重力的$\frac{16}{9}$
• D． 行星b與恒星a的距離是日地距離的$\sqrt{\frac{2}{73}}$倍

Answer 1

分析 由第一宇宙速度即在中心天體表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度即可求解第一宇宙速度；由加速度與周期的關(guān)系式即可求得角速度；物體的重力即物體的萬有引力；根據(jù)萬有引力做向心力，已知周期即可求解圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．

解答 解：設(shè)恒星質(zhì)量為M₁′，行星質(zhì)量為M′，地球質(zhì)量為M，太陽質(zhì)量為M₁；
A、行星b的第一宇宙速度即行星外衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力做向心力，半徑為行星半徑時(shí)的速度，所以有：$\frac{GM′m}{{R′}^{2}}=\frac{m{v′}^{2}}{R′}$，所以，$v′=\sqrt{\frac{GM′}{R′}}=\sqrt{\frac{4GM}{1.5R}}=\sqrt{\frac{8}{3}}v$，故A錯(cuò)誤；
B、行星繞恒星運(yùn)行，即以萬有引力做向心力做圓周運(yùn)動(dòng)，$ω′=\frac{2π}{T′}$，行星公轉(zhuǎn)周期為10天，地球公轉(zhuǎn)周期為1年，故行星公轉(zhuǎn)周期小于地球公轉(zhuǎn)周期，所以，行星b繞恒星a運(yùn)行的角速度大于地球繞太陽運(yùn)行的角速度，故B正確；
C、在行星表面，萬有引力即物體的重力，所以，重力加速度$g′=\frac{GM′}{R{′}^{2}}=\frac{4GM}{（1.5R）^{2}}=\frac{16}{9}g$，所以，重力是在地球上重力的$\frac{16}{9}$，故C正確；
D、設(shè)日地距離為d，行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力做向心力，則有：$\frac{G{M}_{1}′M′}{{{R}_{1}′}^{2}}=M′（\frac{2π}{T′}）^{2}{R}_{1}′$，所以，${R}_{1}′=\root{3}{\frac{G{M}_{1}′T{′}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{G×0.3{M}_{1}×（\frac{10}{365}T）^{2}}{4{π}^{2}}}=\root{3}{\frac{30}{36{5}^{2}}}d$，故D錯(cuò)誤；
故選：BC．

點(diǎn)評(píng) 在萬有引力的考察中，都是根據(jù)萬有引力做向心力，然后由求得半徑、周期、角速度、速度之間的關(guān)系進(jìn)而求解相關(guān)問題．