Question

7．如圖所示，在邊長為L的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，其磁感應(yīng)強度大小為B，在正方形對角線CE上有一點P，其到CF、CD距離均為$\frac{L}{4}$，且在P點處有一個發(fā)射正離子的裝置，能連續(xù)不斷地向紙面內(nèi)的各方向均勻發(fā)射出速率不同的正離子．已知離子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計離子重力及離子間相互作用力．（　　）

• A． 速率為0＜V＜$\frac{BqL}{8m}$ 范圍內(nèi)的 所有正離子均不能射出正方形區(qū)域
• B． 速率為0＜V＜$\frac{BqL}{4m}$范圍內(nèi)的 所有正離子均不能射出正方形區(qū)域
• C． 速率V=$\frac{BqL}{2m}$的所有正離子中能打在DE邊上的離子數(shù)是其總數(shù)的$\frac{1}{6}$
• D． 速率V=$\frac{BqL}{2m}$的所有正離子中能打在DE邊上的離子數(shù)是其總數(shù)的$\frac{1}{12}$

Answer 1

分析 本題分兩種情況：第一是A和B考察的是要使離子不射出磁場時，最大的速度，由周邊磁場及半徑公式，顯然是以P到CF和CD的距離為直徑的圓是最大速度的軌跡．第二是當速度為某一確定值時，求打在DE上離子的總數(shù)點離子數(shù)的幾分之一，顯然要先分析能打在四邊上離子的范圍，那么打在DE上范圍占四邊上范圍總數(shù)的幾分之一，就是打在DE上離子總數(shù)的幾分之一．

解答 解：AB、由于帶電離子從P點以大小不同、方向也不同的速度向各個方向入射，則軌跡圓心
難以確定顯然在向各個方向入射的離子中要使離子不從任何邊界射出，則帶電離子的最大半
徑的軌跡如圖所示，即2r_max=$\frac{1}{4}L$，由洛侖茲力提供向心力qv_maxB=m$\frac{{{v}_{max}}^{2}}{{r}_{max}}$．解得v_max=$\frac{BqL}{8m}$，
即只要小于該速度的離子均在磁場區(qū)域內(nèi)做完整的勻速圓周運動，所以選項A正確，選項B錯誤．
CD、當粒子的速度為v=$\frac{BqL}{2m}$時，由上述半徑公式可得：該離子做勻速圓周運動的半徑r=$\frac{L}{2}$，
由周邊磁場區(qū)域的特征，只要能穿過CD邊，即軌跡與CD相切打在DE的G點，如圖所示：
△POK中設(shè)CA=x，由勾股定理，（x-$\frac{1}{4}L$）²+（r-$\frac{1}{4}L$）²=r² 解得x=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}L$．設(shè)打在DE上的
點M（打在DE上最低點）到D的距離為y，則在△OHG中由勾股定理：（L-x）²+（r-y）²=r²
代入解得：y=$\frac{2L-\sqrt{6\sqrt{3}-8}}{4}$．當離子的軌跡與DE相切時，是打在DE上的最高點，與DE相切于N點，
打在EF上A點，如圖所示，設(shè)相切點N與D點的距離為z，在△PO₁Q中（z-$\frac{1}{4}L$）²+（$\frac{3}{4}L-\frac{1}{2}L$）²=r²，解得：
z=$\frac{4-\sqrt{3}}{4}L$，打在DE上的范圍△s=z-y=$\frac{2+\sqrt{6\sqrt{3}-8}-\sqrt{3}}{4}$在△O₁AJ中，設(shè)NE=a，據(jù)勾股定理：
（L-z）²+（r-a）²=r² 解得a=$\frac{2-\sqrt{24-10\sqrt{3}}}{4}$，經(jīng)分析打在正方形四邊的范圍有△S=CF+CAGN+AF=
L+x+y-z+L-a=$\frac{1}{12}△s$，這樣打在DE上的粒子點總離子數(shù)的$\frac{1}{12}$，所以選項C錯誤，選項D正確．
故選：AD

點評 本題的難點在于從P點發(fā)出的離子的速度大小和方向均不同，所以需要考慮的因素比較多：①半徑大小決定著軌跡的平緩程度，②速度方向也決定著有可能與周邊邊界的情況．