Question

7．如圖所示，在邊長為L的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在正方形對角線CE上有一點(diǎn)P，其到CF、CD距離均為$\frac{L}{4}$，且在P點(diǎn)處有一個(gè)發(fā)射正離子的裝置，能連續(xù)不斷地向紙面內(nèi)的各方向均勻發(fā)射出速率不同的正離子．已知離子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)離子重力及離子間相互作用力．（　�。�

• A． 速率為0＜V＜$\frac{BqL}{8m}$ 范圍內(nèi)的 所有正離子均不能射出正方形區(qū)域
• B． 速率為0＜V＜$\frac{BqL}{4m}$范圍內(nèi)的 所有正離子均不能射出正方形區(qū)域
• C． 速率V=$\frac{BqL}{2m}$的所有正離子中能打在DE邊上的離子數(shù)是其總數(shù)的$\frac{1}{6}$
• D． 速率V=$\frac{BqL}{2m}$的所有正離子中能打在DE邊上的離子數(shù)是其總數(shù)的$\frac{1}{12}$

Answer 1

分析 本題分兩種情況：第一是A和B考察的是要使離子不射出磁場時(shí)，最大的速度，由周邊磁場及半徑公式，顯然是以P到CF和CD的距離為直徑的圓是最大速度的軌跡．第二是當(dāng)速度為某一確定值時(shí)，求打在DE上離子的總數(shù)點(diǎn)離子數(shù)的幾分之一，顯然要先分析能打在四邊上離子的范圍，那么打在DE上范圍占四邊上范圍總數(shù)的幾分之一，就是打在DE上離子總數(shù)的幾分之一．

解答 解：AB、由于帶電離子從P點(diǎn)以大小不同、方向也不同的速度向各個(gè)方向入射，則軌跡圓心
難以確定顯然在向各個(gè)方向入射的離子中要使離子不從任何邊界射出，則帶電離子的最大半
徑的軌跡如圖所示，即2r_max=$\frac{1}{4}L$，由洛侖茲力提供向心力qv_maxB=m$\frac{{{v}_{max}}^{2}}{{r}_{max}}$．解得v_max=$\frac{BqL}{8m}$，
即只要小于該速度的離子均在磁場區(qū)域內(nèi)做完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
CD、當(dāng)粒子的速度為v=$\frac{BqL}{2m}$時(shí)，由上述半徑公式可得：該離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=$\frac{L}{2}$，
由周邊磁場區(qū)域的特征，只要能穿過CD邊，即軌跡與CD相切打在DE的G點(diǎn)，如圖所示：
△POK中設(shè)CA=x，由勾股定理，（x-$\frac{1}{4}L$）²+（r-$\frac{1}{4}L$）²=r² 解得x=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}L$．設(shè)打在DE上的
點(diǎn)M（打在DE上最低點(diǎn)）到D的距離為y，則在△OHG中由勾股定理：（L-x）²+（r-y）²=r²
代入解得：y=$\frac{2L-\sqrt{6\sqrt{3}-8}}{4}$．當(dāng)離子的軌跡與DE相切時(shí)，是打在DE上的最高點(diǎn)，與DE相切于N點(diǎn)，
打在EF上A點(diǎn)，如圖所示，設(shè)相切點(diǎn)N與D點(diǎn)的距離為z，在△PO₁Q中（z-$\frac{1}{4}L$）²+（$\frac{3}{4}L-\frac{1}{2}L$）²=r²，解得：
z=$\frac{4-\sqrt{3}}{4}L$，打在DE上的范圍△s=z-y=$\frac{2+\sqrt{6\sqrt{3}-8}-\sqrt{3}}{4}$在△O₁AJ中，設(shè)NE=a，據(jù)勾股定理：
（L-z）²+（r-a）²=r² 解得a=$\frac{2-\sqrt{24-10\sqrt{3}}}{4}$，經(jīng)分析打在正方形四邊的范圍有△S=CF+CAGN+AF=
L+x+y-z+L-a=$\frac{1}{12}△s$，這樣打在DE上的粒子點(diǎn)總離子數(shù)的$\frac{1}{12}$，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．
故選：AD

點(diǎn)評 本題的難點(diǎn)在于從P點(diǎn)發(fā)出的離子的速度大小和方向均不同，所以需要考慮的因素比較多：①半徑大小決定著軌跡的平緩程度，②速度方向也決定著有可能與周邊邊界的情況．