Question

18．如圖（a）所示，晾曬衣服的繩子輕且光滑，懸掛衣服的衣架的掛鉤也是光滑的．輕繩兩端分別固定在兩根豎直桿上的A、B兩點(diǎn)（處于同一水平線上），衣服處于靜止?fàn)顟B(tài)．已知豎直直桿間的距離為d，繩子長(zhǎng)度為l=kd，衣架和衣服質(zhì)量為m，衣架和衣服運(yùn)動(dòng)時(shí)做平動(dòng)．
（1）如果保持繩子A端位置不變，將B端沿著稈向上緩慢移動(dòng)到C位置，試定量論述繩子張力如何變化．
（2）若把繩子右端固定在B點(diǎn)，讓掛鉤從B附近釋放，則衣服在下滑過程中最大速度為多大
（3）若衣服運(yùn)動(dòng)過程中做如圖（b）虛線c所示的曲線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最低點(diǎn)曲率半徑為r，如圖（b）所示，此時(shí)繩子與掛鉤位置如圖所示，則衣服到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)繩子張力為多大？

Answer 1

分析 （1）對(duì)掛鉤受力分析，根據(jù)平衡條件結(jié)合幾何關(guān)系列式求解；懸點(diǎn)從B移到B₁或B₂，細(xì)線與桿的夾角不變；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出衣服下降的高度，由機(jī)械能守恒即可求出；
（3）衣服與掛鉤在最低點(diǎn)受到的合外力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律即可求出．

解答 解：（1）對(duì)掛鉤受力分析，如圖，設(shè)繩子與水平方向之間的夾角為θ：

設(shè)掛鉤為O，從B移到C時(shí)，有：
AO•sinθ+OB•sinθ=AO•sinα+OC•sinα
（AO+OB）sinθ=（AO+OC）sinα
AO+OB和AO+OC等于繩長(zhǎng)，故θ=α，即懸點(diǎn)從B移到C，細(xì)線與桿的夾角不變；
根據(jù)平衡條件，有
  2Tcosθ=mg
所以繩子的拉力不變；
（2）設(shè)掛鉤從B附近釋放，衣服在下滑過程中下降的最大高度為h，由幾何關(guān)系可知：
h=$\sqrt{（\frac{kd}{2}）^{2}-（\fraclauxlmc{2}）^{2}}$=$\fracu3cw8du{2}\sqrt{{k}^{2}-1}$
由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=mgh$
所以：${v}_{m}=\sqrt{gd\sqrt{{k}^{2}-1}}$
（3）衣服在最低點(diǎn)受到的合外力提供向心力，由牛頓第二定律得：
$2Tcosθ-mg=\frac{m{v}_{m}^{2}}{r}$
其中：$cosθ=\frac{h}{r}$
聯(lián)立得：$T=\frac{1}{2}kmg（\sqrt{{k}^{2}-1}+\fraclmvth3b{r}）$
答：（1）如果保持繩子A端位置不變，將B端沿著稈向上緩慢移動(dòng)到C位置，繩子張力不變．
（2）若把繩子右端固定在B點(diǎn)，讓掛鉤從B附近釋放，則衣服在下滑過程中最大速度為$\sqrt{gd\sqrt{{k}^{2}-1}}$；
（3）若衣服運(yùn)動(dòng)過程中做如圖（b）虛線c所示的曲線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最低點(diǎn)曲率半徑為r，如圖（b）所示，此時(shí)繩子與掛鉤位置如圖所示，則衣服到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)繩子張力為$\frac{1}{2}kmg（\sqrt{{k}^{2}-1}+\fracl32a8uk{r}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵根據(jù)幾何關(guān)系，得到兩種移動(dòng)方式下，繩子與豎直方向的夾角的變化情況，然后根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件列式求解．