Question

(16分)如圖所示，皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R=m，兩輪軸心相距L=3.75m，A、B分別是傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=。g取10m/s²。

（1）當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向以v₁=3m/s的速度勻速運(yùn)動時(shí)，將小物塊無初速地放在A點(diǎn)后，它運(yùn)動至B點(diǎn)需多長時(shí)間？（計(jì)算中可取≈16，≈20）

（2）小物塊相對于傳送帶運(yùn)動時(shí)，會在傳送帶上留下痕跡。當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動時(shí)，小物塊無初速地放在A點(diǎn)，運(yùn)動至B點(diǎn)飛出。要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運(yùn)動的速度v₂至少多大？

Answer 1

解析：

（1）當(dāng)小物塊速度小于3m/s時(shí)，小物塊受到豎直向下的重力、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)加速度為a₁，根據(jù)牛頓第二定律mgsin30° + μmgcos30°=ma₁                   

解得 a₁ =7.5m/s²

當(dāng)小物塊速度等于3m/s時(shí)，設(shè)小物塊對地位移為L₁，用時(shí)為t₁，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動規(guī)律t₁ =     L₁ =    解得 t₁ = 0.4s   L₁ = 0.6m

由于L₁＜L 且μ＜tan30°，當(dāng)小物塊速度大于3m/s時(shí)，小物塊將繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動至B點(diǎn)，設(shè)加速度為a₂，用時(shí)為t₂，根據(jù)牛頓第二定律和勻加速直線運(yùn)動規(guī)律

mgsin30°－μmgcos30°=ma₂  解得  a₂ =2.5m/s²

L－L₁ = v₁t₂ + a₂t₂²                              解得 t₂ = 0.8s          

故小物塊由靜止出發(fā)從A到B所用時(shí)間為 t = t₁ + t₂ = 1.2s         (8分)

（2）作v―t圖分析知：傳送帶勻速運(yùn)動的速度越大，小物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值v′ 時(shí)，小物塊將從A點(diǎn)一直以加速度a₁做勻加速直線運(yùn)動到B點(diǎn)，所用時(shí)間最短，即L = a₁t_min² 解得t_min = 1s   v′ =a₁t_min =7.5m/s

此時(shí)小物塊和傳送帶之間的相對路程為 △S = v′t－L = 3.75m

傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時(shí)間保持不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當(dāng)痕跡長度等于傳送帶周長時(shí)，痕跡為最長S_max，設(shè)此時(shí)傳送帶速度為v₂，則

S_max = 2L + 2πR         S_max = v₂t－L

聯(lián)立解得 v₂ = 12.25m/s                     (8分)