Question

1．光滑曲面與傾角θ=30°的固定粗糙斜面平滑連接，一物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）自光滑曲面高為h處自由下滑到最低點(diǎn)后滑上斜面一定高度又返回到光滑曲面上．已知第二次返回到光滑曲面上達(dá)到的最大高度為$\frac{h}{3}$，求：
（1）物體第一次到到光滑曲面最低點(diǎn)時(shí)的速度v₁；
（2）物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）要使物體不沖出斜面，斜面長度至少為多少？

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能定律求物體第一次到到光滑曲面最低點(diǎn)時(shí)的速度v₁．
（2）由牛頓第二定律求出物體在斜面上上滑和下滑時(shí)的加速度大小，由速度位移公式分別研究在斜面上上滑和下滑的過程，聯(lián)立求解．
（3）根據(jù)上題的結(jié)果，求得斜面的最小長度．

解答 解：（1）由機(jī)械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：v₁=$\sqrt{2gh}$
（2）設(shè)小球第一次沿斜面滑到最低點(diǎn)的速度為v₂，第二次沿斜面滑到最低點(diǎn)的速度為v₃，沿斜面上滑的加速度為a₁，沿斜面下滑的加速度為a₂，第一次滑上斜面長為l₁，第二次滑上斜面長為l₂，則有：
${v}_{1}^{2}$=2a₁l₁…①
${v}_{2}^{2}$=2a₂l₁…②
${v}_{2}^{2}$=2a₁l₂…③
${v}_{3}^{2}$=2a₂l₂…④
由①②③④解得 ${v}_{1}^{2}$=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}}{v}_{3}^{2}$…⑤
由牛頓第二定律得：
上滑時(shí)有 mgsinθ+μmgcosθ=ma₁…⑥
下滑時(shí)有 mgsinθ-μmgcosθ=ma₂…⑦
又有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…⑧
mg•$\frac{1}{3}$h=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$…⑨
由⑤⑥⑦⑧⑨得：μ=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+3}$
（3）代入μ=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+3}$，第一次上滑加速度為：a₁=$\frac{3}{3+\sqrt{3}}$g
所以斜面至少長為：l₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$h
答：（1）物體第一次到到光滑曲面最低點(diǎn)時(shí)的速度v₁是$\sqrt{2gh}$．
（2）物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+3}$．
（3）要使物體不沖出斜面，斜面長度至少為$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$h．

點(diǎn)評 本題是多過程，分過程反復(fù)運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式是關(guān)鍵，還要把握每個(gè)過程的聯(lián)系，如速度關(guān)系、高度關(guān)系等．