Question

9．兩個(gè)星球半徑之比2：3，表面重力加速度之比1：2，求：
（1）兩個(gè)星球質(zhì)量之比；
（2）兩個(gè)星球上第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 根據(jù)星球表面重力等于萬有引力求星球質(zhì)量之比；
根據(jù)萬有引力提供近地軌道衛(wèi)星的向心力求第一宇宙速度之比；

解答 解：（1）根據(jù)星球表面重力等于萬有引力有：
mg=G$\frac{mM}{{R}^{2}}$  
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
兩個(gè)星球半徑之比2：3，表面重力加速度之比1：2，
所以兩個(gè)星球質(zhì)量之比是2：9，
（2）行星表面的環(huán)繞速度即為第一宇宙速度，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是萬有引力提供的，則有：
G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$，
兩個(gè)星球半徑之比2：3，表面重力加速度之比1：2，
所以兩個(gè)星球上第一宇宙速度之比是1：$\sqrt{3}$，
答：（1）兩個(gè)星球質(zhì)量之比是2：9；
（2）兩個(gè)星球上第一宇宙速度之比是1：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星問題，常常根據(jù)萬有引力等于重力求星球表面的重力加速度，由萬有引力等于向心力求其速度．