Question

2．如圖所示，空間中第二、三象限存在電、磁場區(qū)域，以45°線為分界線，勻強磁場方向垂直于紙面向里，勻強電場方向垂直于分界線向上，一帶負電的離子在分界線上的A點以一定速度射入磁場區(qū)域，其軌跡在半個周期內(nèi)恰與y軸相切，已知A到原點O的距離為（1+$\sqrt{2}$）m，該負離子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁷C/kg，磁場的磁感應強度大小B=0.4T，電場強度大小E=$\frac{\sqrt{2}+1}{5}$×10⁸V/m．
（1）求負離子在磁場中運動的速度v₁的大小
（2）求負離子經(jīng)過x軸時速度v₂的大小
（3）若t=0時刻從A點以v₁射入相同比荷的正離子，求自A點至粒子第三次通過分界線的時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直進入磁場后做勻速圓周運動，畫出運動軌跡，根據(jù)幾何關系求出半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式求解速度．
（2）根據(jù)幾何關系求出粒子離開磁場后到x軸的距離，再根據(jù)動能定理求出到達x軸的速度；
（3）若射入正離子，該離子先在磁場中做勻速圓周運動，后在電場中做勻減速直線運動，速度減為零后又做勻加速直線運動，到達分界線，然后又做圓周運動，回到分界線，直到第3次回到分界線時，共在磁場中運動了一個周期，在電場中經(jīng)過了一個來回，分別求出粒子在電場和磁場中運動的時間，兩者之和即為總時間t．

解答 解：（1）負離子垂直進入磁場后做勻速圓周運動，運動軌跡如圖所示，設軌跡半徑為R：
根據(jù)幾何關系可知，AO=R+$\sqrt{2}$R
又 AO=（1+$\sqrt{2}$）m
解得：R=1m
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，則有：
 Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\frac{qER}{m}$=10⁷×0.4×1=4×10⁶m/s
（2）負離子進入電場后做勻加速直線運動，運動的位移為：
x=AO-2R=（1+$\sqrt{2}$）m-2m=（$\sqrt{2}$-1）m
根據(jù)動能定理得：$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²=Eqx
解得：v₂=2$\sqrt{5}$×10⁶m/s
（3）若射入正離子，該離子先在磁場中做勻速圓周運動，后在電場中做勻減速直線運動，速度減為零后又做勻加速直線運動，到達分界線，然后又做圓周運動．
所以在磁場中運動的時間為：t₁=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$=$\frac{5π}{2}$×10^-7 s
在電場中經(jīng)過的時間為：t₂=2×$\frac{{v}_{1}}{a}$=2×$\frac{{v}_{1}}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2m{v}_{1}}{qE}$=4（$\sqrt{2}$-1）×10^-6s
所以粒子從第一次到達分界線到第五次到達分界線的時間為：t=t₁+t₂=[4（$\sqrt{2}$-1）+0.5π]×10^-6 s
答：（1）負離子在磁場中運動的速度v₁的大小為4×10⁶m/s．
（2）負離子經(jīng)過x軸時速度v₂的大小為2$\sqrt{5}$×10⁶m/s．
（3）若t=0時刻從A點射入相同比荷的正離子，自A點至粒子第三次通過分界線的時間t為[4（$\sqrt{2}$-1）+0.5π]×10^-6 s．

點評 本題中帶電粒子在組合場中運動，分析清楚粒子運動過程，畫出磁場中運動的軌跡是正確解題的關鍵，應用動能定理、牛頓第二定律、運動學公式即可正確解題．