Question

如圖所示，電離室中存在大量密度相同、大小不同的球狀納米粒子，它們在電離室電離后均帶正電，且所帶電量與其表面積成正比。電離后的納米粒子緩慢地通過小孔O₁進(jìn)入板間電壓為U的電場加速后，又從小孔O₂沿水平方向射入右方勻強磁場區(qū)域。已知勻強磁場區(qū)域I Ⅱ的水平寬度均為d，豎直方向足夠長，磁感應(yīng)強度大小均為B，方向分別垂直紙面向里和向外。設(shè)這些納米粒子的最小半徑為r₀，其他粒子半徑均為r₀的整數(shù)倍，且半徑最小的納米粒子質(zhì)量為m₀、帶電量為q₀，不計納米粒子的重力。已知球表面積公式S=4πr²，球體積公式．求；
(1)半徑為r₀和2r₀的納米粒子經(jīng)電場加速后速度之比；
(2)要使所有的納米粒子均能穿過磁場區(qū)域，確定加速電壓U應(yīng)滿足何條件；
(3)若加速電壓取U₀時，半徑為r₀的粒子恰好不能穿過磁場區(qū)域。求出這種情況下，半徑為2r₀的納米粒子先后穿過磁場區(qū)域I和Ⅱ經(jīng)歷的總時間t。

Answer 1

解：(1)根據(jù)動能定理
對半徑為r₀的粒子有
對半徑為2r₀的粒子有
由題目條件知q₂=4q₀，m₂=8m₀
由以上三式得
(2)任意選取某質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子來研究，設(shè)它在磁場中運動的半徑為R
由，
得
根據(jù)題目條件，q=k·4πr²，故正比于粒子半徑r，由此知，半徑為r₀的粒子在磁場中做圓周運動的半徑最小，只要它能穿過磁場，其他粒子均能穿過
即所有粒子均能穿過磁場的條件為
解得加速電壓應(yīng)滿足的條件為
(3)半徑為r₀和半徑為2r₀的粒子軌跡分別如圖中1、2所示

由上問可得兩粒子在磁場中的半徑分別為
，
根據(jù)題意R₀=d，又q₂=4q₀，m₂=8m₀
得
設(shè)半徑為2r₀的粒子通過磁場區(qū)域I時，速度方向轉(zhuǎn)過的角度為θ，則

得θ=45°
它穿過磁場區(qū)域I和Ⅱ經(jīng)歷的總時間