Question

15．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，有一勻強(qiáng)磁場均勻分布在半徑為R的圓內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，其中OD是圓的直徑，在y軸左側(cè)空間平行于在y軸的勻強(qiáng)電場，有一質(zhì)量為m．帶電量為q的帶正電粒子，在x軸上的A點(diǎn)，以大小為v₀，方向與場強(qiáng)方向成θ角射入勻強(qiáng)電場，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后垂直y軸上的P點(diǎn)射出，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0.6R），經(jīng)過一段時(shí)間后進(jìn)入磁場區(qū)域，若帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是其在磁場運(yùn)動(dòng)周期的$\frac{1}{4}$，（粒子重力不計(jì)）．求：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E及A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）帶電粒子從A點(diǎn)射入到偏轉(zhuǎn)出磁場的過程中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間T．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將速度分解為水平速度和豎直速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律可求得E及坐標(biāo)；
（2）帶電粒子在圓形磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系確定圓心和半徑，則由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得B；
（3）粒子經(jīng)歷了三個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，分別求得三個(gè)過程的時(shí)間，即可求得總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-x，0），在平行于y軸方向上的速度滿足：v₀cosθ=$\frac{Eq}{m}{t}_{1}$；
平行于y方向的位移：0.6R=$\frac{{V}_{0}cosθ}{2}{t}_{1}$
x方向的位移：x=（v₀sinθ）t
聯(lián)立解得：E=$\frac{5m（{v}_{0}cosθ）^{2}}{6qR}$，x=$\frac{6Rtanθ}{5}$
所以，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{6Rtanθ}{5}$，0）；
（2）如圖所示，粒子從H點(diǎn)垂直射入勻強(qiáng)磁場做$\frac{1}{4}$圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r；
在△HMC中，有：MC²+HM²=R²
解得：MC=0.8R
在△CKF中有：（r-0.6R）²+（r-0.8R）²=R²
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力充當(dāng)向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{5m{v}_{0}sinθ}{7qR}$；
（3）帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁=$\frac{6R}{5{v}_{0}cosθ}$
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=$\frac{R}{5{v}_{0}sinθ}$
在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₃=$\frac{T}{4}$=$\frac{7πR}{10{v}_{0}sinθ}$
故總時(shí)間t=t₁+t₂+t₃=$\frac{6R}{5{v}_{0}cosθ}$+$\frac{R}{5{v}_{0}sinθ}$+$\frac{7πR}{10{v}_{0}sinθ}$=$\frac{6R}{5{v}_{0}cosθ}$+$\frac{（2+7π）R}{10{v}_{0}sinθ}$
答：（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E為$\frac{5m（{v}_{0}cosθ）^{2}}{6qR}$及A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{6Rtanθ}{5}$，0）；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{5m{v}_{0}sinθ}{7qR}$；
（3）帶電粒子從A點(diǎn)射入到偏轉(zhuǎn)出磁場的過程中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為T$\frac{6R}{5{v}_{0}cosθ}$+$\frac{（2+7π）R}{10{v}_{0}sinθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)，難點(diǎn)在于幾何關(guān)系的把握，要注意正確作圖并用好幾何關(guān)系．