Question

有一質(zhì)量為m的航天器靠近地球表面繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)（軌道半徑等于地球半徑），某時(shí)刻航天器啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)，向后噴氣，在很短的時(shí)間內(nèi)動(dòng)能變?yōu)樵瓉淼?span id="zhpltya" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

4

3

，此后軌道變?yōu)闄E圓，遠(yuǎn)地點(diǎn)與近地點(diǎn)距地心的距離之比是2：1，經(jīng)過遠(yuǎn)地點(diǎn)和經(jīng)過近地點(diǎn)的速度之比為1：2．己知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．
（1）求航天器在靠近地球表面繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期T；
（2）求航天器靠近地球表面繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能；
（3）在從近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的過程中克服地球引力所做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）由重力提供向心力公式即可求解；
（2）航天器靠近地球表面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)重力提供向心力，求出速度，根據(jù)動(dòng)能的公式即可求解動(dòng)能；
（3）先求出噴氣后航天器在近地點(diǎn)的動(dòng)能，根據(jù)經(jīng)過遠(yuǎn)地點(diǎn)和經(jīng)過近地點(diǎn)的速度之比為1：2，求出航天器在遠(yuǎn)日點(diǎn)的動(dòng)能，由動(dòng)能定理即可求得克服地球引力做的功．

解答：解：（1）由牛頓第二定律得：
mg=m

4π2R

T2

解得：T=2π

R g

（2）設(shè)航天器靠近地球表面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v₁，則
mg=m

v12

R

解得：E_K1=

1

2

mv12=

1

2

mgR
（3）由題意，噴氣后航天器在近地點(diǎn)的動(dòng)能為：E_K2=

4

3

E_K1=

2

3

mgR
航天器在遠(yuǎn)日點(diǎn)的動(dòng)能為：E_K3=

1

4

E_K2=

1

6

mgR
由動(dòng)能定理得：克服地球引力做的功為：W=E_K2-E_K3=

1

2

mgR
答：（1）航天器在靠近地球表面繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期為2π

R g

；
（2）航天器靠近地球表面繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能為

1

2

mgR；
（3）在從近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的過程中克服地球引力所做的功為

1

2

mgR

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查萬有引力提供向心力公式及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，難度適中．