Question

有一質(zhì)量為m的航天器靠近地球表面繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)（軌道半徑等于地球半徑），某時(shí)刻航天器啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)，在很短的時(shí)間內(nèi)動(dòng)能變?yōu)樵瓉淼?span id="kupyzl4" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

4

3

，此后軌道為橢圓，遠(yuǎn)地點(diǎn)與近地點(diǎn)距地心的距離之比是2：1，經(jīng)過遠(yuǎn)地點(diǎn)和經(jīng)過近地點(diǎn)的速度之比為1：2．己知地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，萬有引力恒量為G．
（1）求航天器靠近地球表面繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能；
（2）在從近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的過程中克服地球引力所做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）航天器靠近地球表面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)重力提供向心力，求出速度，根據(jù)動(dòng)能的公式即可求解動(dòng)能；
（2）先求出噴氣后航天器在近地點(diǎn)的動(dòng)能，根據(jù)經(jīng)過遠(yuǎn)地點(diǎn)和經(jīng)過近地點(diǎn)的速度之比為1：2，求出航天器在遠(yuǎn)日點(diǎn)的動(dòng)能，由動(dòng)能定理即可求得克服地球引力做的功．

解答：解：
（1）航天器靠近地球表面繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供向心力
G

Mm

R2

=m

v2

R

…①
由①得v2=

GM

R

故此時(shí)航天器動(dòng)能Ek=

1

2

mv2=

GMm

2R

（2）根據(jù)題意知，航天器在近地點(diǎn)的動(dòng)能
Ek近=

4

3

Ek=

2GMm

3R

又因?yàn)?span id="ozq4fif" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

Ek近

Ek遠(yuǎn)

=

v 2 近

v 2 遠(yuǎn)

=

4

1

所以遠(yuǎn)地點(diǎn)的動(dòng)能Ek遠(yuǎn)=

1

4

Ek近=

GmM

6R

航天器從近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中只有地球引力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
W_引=E_k遠(yuǎn)-E_k遠(yuǎn)=

GmM

6E

-

2GMm

3R

=-

GmM

2R

所以克服地球引力所做的功為G

Mm

2R

答：（1）航天器靠近地球表面繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能為

GMm

2R

；
（2）在從近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的過程中克服地球引力所做的功為G

Mm

2R

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查萬有引力提供向心力公式及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，難度適中．