Question

3．2007年10月24日，中國(guó)首顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，11月26日，中國(guó)第一幅月圖完美亮相，中國(guó)首次月球探測(cè)工程取得圓滿成功．我國(guó)將在2017年前后發(fā)射一顆返回式月球軟著陸器，進(jìn)行首次月球樣品自動(dòng)取樣并安全返回地球．假設(shè)探月宇航員站在月球表面一斜坡上的M點(diǎn)，并沿水平方向以初速度v₀拋出一個(gè)質(zhì)量為m的小球，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡上另一點(diǎn)N，斜面的傾角為α，已知月球半徑為R，月球的質(zhì)量分布均勻，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）人造衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合水平位移和豎直位移的關(guān)系，求出月球表面的重力加速度．
（2）當(dāng)人造衛(wèi)星貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度最大，結(jié)合重力提供向心力求出最大速度．

解答 解：（1）在水平方向上有：v₀t=Lcosα，
豎直方向上有：$\frac{1}{2}g′{t}^{2}=Lsinα$，
聯(lián)立解得：$g′=\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
（2）根據(jù)$mg′=m\frac{{v}^{2}}{R}$，人造衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度為：
v=$\sqrt{g′R}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$．
答：（1）月球表面的重力加速度為$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
（2）人造衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律理論與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)求出月球表面的重力加速度是關(guān)鍵．