Question

【題目】質(zhì)點(diǎn)或光滑球以某一角度入射到硬質(zhì)表面上發(fā)生的反跳，通常呈現(xiàn)“反射角等于入射角”的現(xiàn)象．但是對(duì)于一種粗糙的硬質(zhì)橡皮球，當(dāng)其與硬質(zhì)表面碰撞且滿足動(dòng)能守恒時(shí)，它在反跳過(guò)程中卻表現(xiàn)出許多奇異的現(xiàn)象，這種粗糙的高彈性人造硬質(zhì)橡皮球稱(chēng)為超級(jí)彈性球，簡(jiǎn)稱(chēng)為超球．這種超球在硬質(zhì)表面上的反跳幾乎是完全彈性的，用它可以直觀地演示粗糙物的彈性碰撞現(xiàn)象．試回答下列問(wèn)題：

（1）若將一個(gè)小超球放在一個(gè)大超球的頂上，讓這兩個(gè)超球一起自由下落并撞擊地面，就會(huì)發(fā)現(xiàn)小超球又跳回到空中，如果大超球與小超球的半徑之比選擇適當(dāng)，那么小超球?qū)⒎刺�的高度大約是原先下落高度的9倍，如圖1所示．若將大超球、小超球和乒乓球緊貼在一起自由下落，如圖2所示，如果這些球的質(zhì)量選擇恰當(dāng)，那么在它們碰撞地面后，乒乓球?qū)⒎刺�的高度幾乎是原先下落高度�?/span>49倍．試建立力學(xué)模型進(jìn)行說(shuō)明

（2）如果超球以一定的速度和繞水平軸旋轉(zhuǎn)的角速度與硬質(zhì)地面碰撞，旋轉(zhuǎn)的超球在、兩點(diǎn)之間來(lái)回反跳，如圖3所示．試說(shuō)明發(fā)生這種現(xiàn)象的條件

Answer 1

【答案】（1）說(shuō)明見(jiàn)解析 （2）說(shuō)明見(jiàn)解析

【解析】

（1）在大超球碰撞地面之前，兩超球均自由下落，它們之間未發(fā)生碰撞，大超球先與地面相碰撞，隨后立即與小超球發(fā)生碰撞，假設(shè)大超球與地面以及超球間的碰撞都是完全彈性的．兩超球自由下落結(jié)束時(shí)，都有向下的速度，由機(jī)械能守恒可得；大超球與地面彈性碰撞后，速度大小不變，方向向上．設(shè)大超球與小超球彈性碰撞后的速度大小分別為和，且方向向上．由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，可得

①

②

式中，為大超球的質(zhì)量；為小超球的質(zhì)量

由式①與式②，可解得， ③

碰撞后小超球以初速度為豎直向上運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒可得小超球反跳的高度：

④

即得 ⑤

若選擇大超球半徑為小超球半徑的10倍，即，則．于是，由式⑤得到

對(duì)于題圖2所示的三個(gè)緊貼的球，設(shè)由上至下三個(gè)球的質(zhì)量分別為、和，且滿足．根據(jù)前面的分析，當(dāng)大球與地面碰撞后，立即與球發(fā)生碰撞，由式③可知，當(dāng)球以相對(duì)于地面的速度反跳時(shí)，小球正以速度下落題圖2-b1．在相對(duì)球為瞬時(shí)靜止的慣性系里，小球相對(duì)于球以速度與球相碰撞（題圖2-b2）．由于，碰撞后球相對(duì)于球以速度反跳（題圖2-b3），即小球相對(duì)于地面以速度反跳（題圖2-b4）．因此，小球反跳的高度為

⑥

（2）首先，討論旋轉(zhuǎn)超球在硬質(zhì)地面上的碰撞問(wèn)題．假設(shè)碰撞是完全彈性的，且碰撞瞬間超球與地面接觸點(diǎn)處沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，但受到摩擦力的作用，同時(shí)忽略重力的影響．為討論方便，碰撞前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用下標(biāo)“0”表示，第一次碰撞后用“1”、第二次碰撞后用“2”表示，依此類(lèi)推．

取超球運(yùn)動(dòng)的平面為平面，如圖所示，設(shè)超球的質(zhì)量為，半徑為，在第一次碰撞前超球質(zhì)心的速度（以和表示速度的兩個(gè)分量）和旋轉(zhuǎn)角速度（超球?qū)τ谕ㄟ^(guò)質(zhì)心的軸的角速度）；碰撞后的速度分量為和，角速度為，設(shè)接觸點(diǎn)處的摩擦力為，法向力為，作用時(shí)間為．

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理，在方向有

⑦

根據(jù)動(dòng)量矩定理，對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸有

⑧

其中，為超球?qū)τ谕ㄟ^(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)于均質(zhì)實(shí)心球，有

此外，對(duì)于彈性碰撞，因摩擦力不做功，由機(jī)械能守恒定律可得

⑨

考慮到完全彈性碰撞，可知 ⑩

由式⑦和式⑧，可得

再由式⑨，并利用式⑩與式，得到

現(xiàn)在，要實(shí)現(xiàn)在、兩點(diǎn)之間來(lái)回反跳，要求、兩處反跳后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)左右對(duì)稱(chēng)，因此反跳前后超球質(zhì)心的速度與角速度應(yīng)滿足：

，，

將式代入式中，得到

可見(jiàn)，若超球以角速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)以的水平分速度與地面碰撞，則反跳后超球以的水平分速度和以再次與地面相撞，這樣超球就來(lái)回反跳