Question

4．一輛摩托車的最大行駛速度為72km/h，能維持這一最大速度的時(shí)間是1min，然后以2.75m/s²的加速度作勻減速運(yùn)動，現(xiàn)讓摩托車由靜止出發(fā)，做加速度為2m/s²的勻加速直線運(yùn)動，去追趕前方x（m）處正以32.4km/h沿同一直線同向勻速行駛的汽車．求：
（1）若摩托車速度最大時(shí)剛好追上汽車，x的值；
（2）若摩托車能在減速之前追上汽車，x的范圍
（3）若摩托車最終能追上汽車，x的最大值．

Answer 1

分析 （1）若摩托車剛好能在加速過程中追上汽車，也就是摩托車恰好達(dá)到最大速度時(shí)兩車相遇，利用位移和速度公式即可求解；
（2）若摩托車剛好能在減速之前追上汽車，就是摩托車達(dá)到最大速度，并以此速度行駛了1min，此時(shí)同樣利用位移時(shí)間關(guān)系即可；
（3）摩托車后段做減速運(yùn)動，并能追上前面的汽車的意思就是摩托車追上汽車時(shí)的速度恰好等于汽車的速度，同樣利用位移與時(shí)間的關(guān)系求解．

解答 解：（1）72km/h=20m/s，32.4km/h=9m/s
設(shè)摩托車的加速過程能持續(xù)的時(shí)間為t₁，發(fā)生位移為x₁，此過程中汽車行駛x₁′，由v_m=a₁t₁，${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$，得：
x₁=100m
x₁′=90m
所以，摩托車要能在速度最大時(shí)剛好追上汽車，有：x=x₁-x₁′=100-90=10m
（2）摩托車在減速之前能運(yùn)動的最長時(shí)間為：t₂=t₁+60s=70s，
在此過程中摩托車發(fā)生的位移為：x₂=x₁+v_mt=1300m，
汽車能前進(jìn)的最大位移為：x₂′=vt₂=9×70=630m
則摩托車在減速之前追上汽車，有：x≤x₂-x₂′=1300-630=670m
（3）設(shè)摩托車從開始減速到速度達(dá)到汽車的速度所經(jīng)歷的時(shí)間為△t，則由v=v_m+a₂△t得：
△t=4s
此過程中摩托車前進(jìn)的位移為：x₃=$\frac{{v}^{2}-{{v}_{m}}^{2}}{2{a}_{2}}$=58m
汽車的位移為：x₃′=v△t=36m
則摩托車要能追上汽車，x的最大值為：x_m=x₂+x₃-（x₂′+x₃′）=692m
答：（1）若摩托車剛好能在加速過程中追上汽車，x等于10m；
（2）若摩托車剛好能在減速之前追上汽車，x小于等于670m；
（3）若摩托車在維持最大速度1min后，做加速度大小為2.75m/s²的勻減速直線運(yùn)動，摩托車要能追上汽車，x的最大值是692m．

點(diǎn)評 解答此題的關(guān)鍵是弄清楚題目中摩托車和汽車運(yùn)動的關(guān)系，并且知道什么時(shí)刻恰好追上和恰好追不上的含義，此題的難度適中．