Question

15．如圖甲所示，空間存在一范圍足夠大、方向垂直于豎直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．讓質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面入射．不計(jì)粒子重力，重力加速度為g．
（1）若該粒子沿y軸負(fù)方向入射后，恰好能經(jīng)過x軸上的A（a，0）點(diǎn)，求粒子速度v₀的大�。�
（2）若該粒子以速度v沿y軸負(fù)方向入射的同時(shí)，一不帶電的小球從x軸上方某一點(diǎn)平行于x軸向右拋出，二者經(jīng)過時(shí)t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，求小球拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（3）如圖乙所示，在此空間再加入沿y軸負(fù)方向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，讓該粒子改為從O點(diǎn)靜止釋放，研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)將做周期性運(yùn)動(dòng)，其周期T=$\frac{2πm}{qB}$，且在任一時(shí)刻，粒子速度的水平分量v_x與其所在位置的y軸坐標(biāo)絕對(duì)值的關(guān)系為v_x=$\frac{qB}{m}$y．若在粒子釋放的同時(shí)，另有一不帶電的小球從x軸上方某一點(diǎn)平行于x軸向右拋出，二者經(jīng)過時(shí)間t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇，求小球拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出半徑，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式就出粒子的速度；
（2）根據(jù)相遇時(shí)間，流出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角，根據(jù)幾何知識(shí)求出此時(shí)粒子的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出此時(shí)粒子在豎直方向的位移，再求出豎直方向總位移，最后求出小球拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可知，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r₁，有${r}_{1}=\frac{a}{2}$，
洛倫茲力提供向心力，有$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{o}}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：${v_0}=\frac{qBa}{2m}$，
（2）洛倫茲力提供向心力，又有$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得${r}_{2}=\frac{mv}{qB}$，
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，有$T=\frac{2πm}{qB}$，
則相遇時(shí)間為$t=\frac{5πm}{6qB}=\frac{5}{12}T$，
在這段時(shí)間內(nèi)粒子轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角θ，有θ=150°，
如圖3所示，相遇點(diǎn)的縱坐標(biāo)絕對(duì)值為${r}_{2}sin30°=\frac{mv}{2qB}$．

小球拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$y=\frac{1}{2}g（\frac{5πm}{6qB}）^{2}-\frac{mv}{2qB}$．
（3）相遇時(shí)${t}^{'}=\frac{3πm}{qB}=\frac{3}{2}T$，
由對(duì)稱性可知相遇點(diǎn)在第二個(gè)周期運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)
設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，離x軸的距離y_m，水平速度為v_x．
由動(dòng)能定理，有$qE{y}_{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}$，
聯(lián)立解得：${y}_{m}=\frac{2mE}{q{B}^{2}}$，
故小球拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$y=\frac{1}{2}g（\frac{3πm}{qB}）^{2}-\frac{2mE}{q{B}^{2}}$．
答：（1）若該粒子沿y軸負(fù)方向入射后，恰好能經(jīng)過x軸上的A（a，0）點(diǎn)，求粒子速度v₀的大小為$\frac{qBa}{2m}$．
（2）若該粒子以速度v沿y軸負(fù)方向入射的同時(shí)，一不帶電的小球從x軸上方某一點(diǎn)平行于x軸向右拋出，二者經(jīng)過時(shí)t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，求小球拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)$\frac{1}{2}g（\frac{5πm}{6qB}）^{2}-\frac{mv}{2qB}$．
（3）如圖乙所示，在此空間再加入沿y軸負(fù)方向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，讓該粒子改為從O點(diǎn)靜止釋放，研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)將做周期性運(yùn)動(dòng)，其周期T=$\frac{2πm}{qB}$，且在任一時(shí)刻，粒子速度的水平分量v_x與其所在位置的y軸坐標(biāo)絕對(duì)值的關(guān)系為v_x=$\frac{qB}{m}$y．若在粒子釋放的同時(shí)，另有一不帶電的小球從x軸上方某一點(diǎn)平行于x軸向右拋出，二者經(jīng)過時(shí)間t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇，求小球拋出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}g（\frac{3πm}{qB}）^{2}-\frac{2mE}{q{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶點(diǎn)粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，過程較復(fù)雜，關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合動(dòng)能定理，洛倫茲力和電場(chǎng)力知識(shí)進(jìn)行解決．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵要根據(jù)時(shí)間和周期的關(guān)系確定圓心角．