Question

3．如圖所示，兩根足夠長的光滑直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行固定在傾角θ=37°的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距L=1m，導(dǎo)軌的電阻可忽略．M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量m=1kg、電阻r=0.2Ω的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．整套裝置處于磁感應(yīng)強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下．自圖示位置起，桿ab受到大小為F=0.5v+2（式中v為桿ab運動的速度，力F的單位為N）、方向平行導(dǎo)軌沿斜面向下的拉力作用，由靜止開始運動，測得通過電阻R的電流隨時間均勻增大．g取10m/s²，sin37°=0.6．
（1）試判斷金屬桿ab在勻強磁場中做何種運動，并請寫出推理過程；
（2）求電阻的阻值R；
（3）求金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m所需的時間t和該過程中整個回路產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)閉合電路歐姆定律得到通過電阻R的電流與速度的關(guān)系，根據(jù)通過電阻R的電流隨時間均勻增大，分析速度如何變化，判斷金屬桿做何種運動．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得到加速度與速度的表達式，由于勻加速運動，加速度與速度無關(guān)，求出加速度的大小，再求解R．
（3）由位移公式求出金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m所需的時間t．運用微元法求解熱量．

解答 解：（1）金屬桿做勻加速運動（或金屬桿做初速為零的勻加速運動）．
通過R的電流I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$，
因通過R的電流I隨時間均勻增大，即桿的速度v隨時間均勻增大，桿的加速度為恒量，故金屬桿做勻加速運動．
（2）對桿，根據(jù)牛頓第二定律有：F+mgsinθ-BIL=ma
將F=0.5v+2代入得：
   2+mgsinθ+（0.5-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$）v=ma，
因a與v無關(guān)，所以
    a=$\frac{2+mgsinθ}{m}=8m/{s}^{2}$
代入得0.5-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$=0 得
  R=0.3Ω
（3）由x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，所需時間t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=0.5s
在極短時間△t內(nèi)，回路產(chǎn)生的焦耳熱為
△Q=$\frac{（BLv）^{2}}{R+r}△t$=$\frac{（BLat）^{2}}{R+r}△t$=32t²△t
在t=0.5s內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q=$\sum_{\;}^{\;}$32t²△t=$\frac{32}{3}×（0.5）^{3}J=\frac{4}{3}J$
答：（1）金屬桿ab金屬桿做勻加速運動．
（2）電阻的阻值R=0.3Ω；
（3）金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m所需的時間t=0.5s，該過程中整個回路產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{4}{3}J$．

點評 本題首先根據(jù)電流與速度的關(guān)系，分析桿ab的運動情況，再根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)出加速度與速度的表達式，根據(jù)勻加速運動加速度不變的特點，求出電阻，難度較大．