Question

4．如圖所示，一比荷為l.0⁵C/kg的帶正電粒子A以速度v_o=10⁴m/s從．點沿Y軸正方向射入磁感應強度為B=1T的圓形勻強磁場區(qū)域（圖中未畫出），磁場方向垂直紙面向外．粒子飛出磁場區(qū)域后，經過一段時間又從點P處經過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為30°，同時進入場強為E=$\frac{4}{3}$×10³V/m，方向沿與x軸正方向成60°角斜向上的勻強電場中．粒子的重力不計，試求：
（1）P點的坐標：
（2）圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積；
（3）若在A進入電場的同時，在電場中適當的位置由靜止釋放另一與A完全相同的帶電粒子B．可使兩粒子在離開電場前相遇．求所有滿足條件的釋放點的集合（不計兩粒子之間的相互作用力）．

Answer 1

分析 （1）根據題意，帶電粒子在磁場中的軌跡圓弧對應的圓心角為120°，帶電粒子從O處進入磁場，轉過120°后離開磁場，再做直線運動從P點射出，根據帶電粒子在磁場中運動時，洛侖茲力提供向心力即可求得半徑；然后根據幾何關系即可求得OP之間的距離．
（2）先求出連接粒子在磁場區(qū)入射點和出射點的弦長，要使圓形勻強磁場區(qū)域面積最小，其半徑剛好為弦長L的一半，求出半徑即可求得最小面積．
（3）粒子A垂直于電場的方向進入電場，在電場中做類平拋運動，沿電場方向做勻加速直線運動，沿垂直于電場的方向做勻速直線運動；粒子B沿電場的方向做勻加速直線運動，由于粒子B與A完全相同，而且運動的時間相等，所以需要在A離開磁場時速度的方向PQ′上一定的范圍內釋放粒子B，可保證兩個粒子在離開電場前相碰．

解答 解：（1）做出帶電粒子運動的軌跡如圖，帶電粒子在磁場中運動時，洛侖茲力提供向心力，則有：
$qvB=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
其轉動半徑為：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=0.1m
帶電粒子從O處進入磁場，轉過120°后離開磁場，再做直線運動從P點射出時OP距離：d=R+2R=3R=0.3m
P點的坐標：（0.3m，0）
（2）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，連接粒子在磁場區(qū)入射點和出射點得弦長為：
L=$\sqrt{3}R$
要使圓形勻強磁場區(qū)域面積最小，其半徑剛好為L的一半，即：$r=\frac{1}{2}L$
其面積為：$S=π{r}^{2}=\frac{3π}{400}{m}^{2}$
（3）粒子A垂直于電場的方向進入電場，在電場中做類平拋運動，沿電場方向做勻加速直線運動，沿垂直于電場的方向做勻速直線運動；粒子B沿電場的方向做勻加速直線運動，由于粒子B與A完全相同，而且運動的時間相等，所以需要在A離開磁場時速度的方向PQ′上一定的范圍內釋放粒子B，可保證兩個粒子在離開電場前相碰．
由幾何知識得A離開磁場時速度方向所在直線的方程為：y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{10}$
粒子A從P進入電場后做類平拋運動，設A離開電場時距離P點為L，則：
Lcos30°=v₀t
$Lsin30°=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}^{2}$
代入數據可得：L=1m$PQ′=Lcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}m$m
故Q′點的橫坐標：x_Q′=x_P+PQ′•cos30°=0.3m+0.75m=1.05m
所以該直線上滿足0.3m≤x≤1.05m的任一點釋放粒子B都能滿足要求．
答：（1）P點的坐標P點的坐標：（0.3m，0）；
（2）圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積為$\frac{3π}{400}{m}^{2}$；
3）所有滿足條件的釋放點的集合：直線y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{10}$上滿足0.3m≤x≤1.05m的任一點釋放粒子B都能滿足要求．

點評 本題主要考查了帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的問題，知道向心力由洛倫茲力提供，學會利用圓心角去求運動時間，難度適中．