Question

20．如圖所示，虛線MN是垂直于紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間存在一磁感應強度大小為B=$\frac{mv}{Lq}$的勻強磁場，方向垂直紙面向外．O是MN上的一點，從O點可以向磁場區(qū)域發(fā)射電量為+q、質量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的方向可在紙面沿各個方向．已知先后射入的某兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到O的距離為L，不計重力及粒子間的相互作用．
（1）求粒子在磁場中的軌道半徑；
（2）求這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔．

Answer 1

分析 （1）粒子射入磁場后做勻速圓周運動，洛倫茲力充當向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求半徑；
（2）根據(jù)時間與轉過的角度之間的關系求得兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔之差值．

解答 解：（1）設粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律，有：

qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
R=$\frac{mv}{qB}=L$；
（2）如圖所示，以OP為弦可畫兩個半徑半徑相同的圓，分別表示在P點相遇的兩個粒子的軌道，圓心和直徑分別為O₁、O₂和OO₁Q₁、OO₂Q₂，在O處兩個圓的切線分別表示兩個粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角．由幾何關系可知：∠PO₁Q₁=∠PO₂Q₂=θ 從O點射入到相遇，粒子1的路程為半個圓周加弧長Q₁P，Q₁P=Rθ
粒子2的路程為半個圓周減弧長PQ₂，
PQ₂=Rθ
粒子1運動的時間：t₁=$\frac{1}{2}$T+$\frac{Rθ}{v}$
粒子2運動的時間：t₂=$\frac{1}{2}$T-$\frac{Rθ}{v}$
兩粒子射入的時間間隔：△t=t₁-t₂=2$\frac{Rθ}{v}$
因Rcos$\frac{1}{2}$θ=$\frac{1}{2}$L
得θ=2arccos$\frac{L}{2R}$
可解得：△t=$\frac{4πL}{3v}$；
答：（1）所考察的粒子在磁場中的軌道半徑為L；
（2）這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔為$\frac{4πL}{3v}$．

點評 本題關鍵是明確洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解出半徑，然后結合幾何關系列式求解．