Question

12．高為h的平臺(tái)邊緣上的P點(diǎn)在地面上P′點(diǎn)的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L（L＞R），地面上有一個(gè)半徑為R的圓形跑道，如圖所示，跑道上停有一輛小車（小車圖中未畫，可以當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)）．現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出小沙袋，使其落入小車中（沙袋所受空氣阻力不計(jì)）．問：
（1）若小車在跑道上運(yùn)動(dòng)，則沙袋被拋出時(shí)的最大初速度．
（2）若小車沿跑道順時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車恰好經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，將沙袋拋出，為使沙袋能在D處落入小車中，小車的速率v應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）小車在A點(diǎn)時(shí)水平的位移最小，此時(shí)的初速度也是最小的，當(dāng)小車在B點(diǎn)時(shí)，水平的位移最大，此時(shí)的初速度是最大的；
（2）要使沙袋能在B處落入小車中，在沙袋落到D點(diǎn)時(shí)，小車要?jiǎng)偤玫竭_(dá)D位置，小車可以是經(jīng)過$\frac{3}{4}$圓周到達(dá)D點(diǎn)，也可以是經(jīng)過整數(shù)個(gè)圓周之后再過$\frac{3}{4}$圓周到達(dá)D點(diǎn)，根據(jù)它們的時(shí)間相同可以求得小車速度的關(guān)系．

解答 解：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的落地時(shí)間為t，
則h=$\frac{1}{2}$gt²，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
若當(dāng)小車經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)沙袋剛好落入，拋出時(shí)的初速度最大，有
x_C=v_0maxt=L+R，
得：v_0max=（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）要使沙袋能在D處落入小車中，小車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)與沙袋下落和時(shí)間相同，
t_AB=（n+$\frac{3}{4}$）$\frac{2πR}{v}$（n=0，1，2，3…），…2    t_AB=t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
得：v=$\frac{（4n+3）πR}{2}\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．
答：（1）若小車在跑道上運(yùn)動(dòng)，則沙袋被拋出時(shí)的最大初速度．
（2）若小車沿跑道順時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車恰好經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，將沙袋拋出，為使沙袋能在D處落入小車中，小車的速率v應(yīng)滿足什么條件？

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的考查，在分析第二問的時(shí)候，要考慮到小車運(yùn)動(dòng)的周期性，小車并一定是經(jīng)過$\frac{3}{4}$圓周，也可以是經(jīng)過了多個(gè)圓周之后再經(jīng)過$\frac{3}{4}$圓周后恰好到達(dá)D點(diǎn)，這是同學(xué)在解題時(shí)經(jīng)常忽略而出錯(cuò)的地方．