Question

18．從受力特點來看，做簡諧運動的物體所受到的回復(fù)力F=-kx，負號表示回復(fù)力F的方向始終與物體偏離平衡位置的位移x的方向相反，k為比例系數(shù)．相關(guān)文獻表明，力學(xué)中的-切做簡諧運動的物體，其往復(fù)運動的周期均可利用公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$求解，m是做簡諧運動的物體質(zhì)量，k為回復(fù)力公式中的比例系數(shù)．
然而，我們學(xué)習(xí)單擺知識時卻提到，當(dāng)擺角θ很小時（如θ≤5°），盡管單擺的往復(fù)振動是簡諧運動，但其周期卻與擺球的質(zhì)量無關(guān)．
（1）請你從受力的角度來證明在擺角很小的情況下，單擺的往復(fù)運動是簡諧運動．
（2）請根據(jù)推理計算說明“單擺周期T與擺球質(zhì)量m無關(guān)”這一結(jié)論跟簡諧運動的通用周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$是否矛盾．

Answer 1

分析 （1）對擺球進行受力分析，可得回復(fù)力，再根據(jù)sinθ≈θ的近似關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)知識，得到F=-kx，從而得證．
（2）求出振動系數(shù)k，把k代入簡諧運動周期公式，即可得到單擺周期公式，再進行分析．

解答 解：（1）單擺受力分析如圖所示，

單擺的回復(fù)力大小為 F_回=G₁=mgsinθ
當(dāng)θ很小時，sinθ≈θ，θ等于θ角對應(yīng)的弧長與半徑的比值，即sinθ≈θ≈$\frac{PO}{L}$
得 F_回=mg$\frac{PO}{L}$
當(dāng)θ很小時，弧長PO近似等于弦長，與擺球偏離平衡位置的位移x大小相等，考慮到回復(fù)力和位移相反，則得回復(fù)力與位移的關(guān)系為  
  F_回=-mg $\frac{x}{L}$=-$\frac{mg}{L}$x=-kx，其中 k=$\frac{mg}{L}$
即有 F_回=-kx
所以在擺角很小的情況下，單擺的往復(fù)運動是簡諧運動．
（2）將k=$\frac{mg}{L}$代入簡諧運動周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$
可得單擺周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，與擺球的質(zhì)量無關(guān)，由于k與m成正比所以這一結(jié)論跟簡諧運動的通用周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$不矛盾．
答：
（1）證明見上．
（2）這一結(jié)論跟簡諧運動的通用周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$不矛盾．

點評 本題考查簡諧運動單擺模型，解題的關(guān)鍵是要明確物體做簡諧運動的條件，即F=-kx，記住簡諧運動周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$．