Question

10．美國(guó)航天局2013年4月18日宣布，開普勒天文望遠(yuǎn)鏡已觀測(cè)到太陽(yáng)系外迄今“最像地球”的行星．據(jù)稱，有兩顆行星位于一個(gè)名為開普勒-62的行星系統(tǒng)的“宜居帶”中，這里溫度條件適宜，理論上其表面有液態(tài)水，甚至可能有少許大氣．若A、B兩行星的密度相同，A行星表面重力加速度是B行星表面重力加速度的2倍，已知兩行星各有一顆衛(wèi)星在其表面附近圍繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由此可判斷下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． A、B兩行星的半徑之比為4：1
• B． A、B兩行星的質(zhì)量之比為1：8
• C． 兩顆衛(wèi)星分別繞A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為1：1
• D． 兩顆衛(wèi)星分別繞A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比為1：2

Answer 1

分析 在不考慮星球自轉(zhuǎn)的情況下，行星表面重力與萬(wàn)有引力相等，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此結(jié)合密度公式求解即可．

解答 解：令行星的密度為ρ，半徑分別為R_A和R_B
AB、在行星表面重力與萬(wàn)有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{G•\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ}{{R}^{2}}=ρG\frac{4}{3}πR$，由此可得重力加速度與星球半徑成正比，故$\frac{{g}_{A}}{{g}_{B}}=\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}=2$，所以A錯(cuò)誤，行星的質(zhì)量M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，即與半徑的三次方成正比，故A的質(zhì)量是B的質(zhì)量的8倍，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得衛(wèi)星的周期T=$\sqrt{\frac{4{{π}^{2}R}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{{π}^{2}R}^{3}}{G•ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$，可見(jiàn)繞星表面的周期與半徑大小無(wú)關(guān)，故C正確；
D、根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$可得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{G•\frac{4}{3}ρπ{R}^{3}}{R}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}ρGπ}•R$，近地衛(wèi)星的線速度之比與半徑成正比即為2：1，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 在不考慮星球自轉(zhuǎn)的情況下，星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，萬(wàn)有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，這是解決萬(wàn)有引力問(wèn)題的主要入手點(diǎn)．