Question

6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系XOY，X軸的下方存在豎直向上的勻強電場E=10V/m，Y軸左右兩邊分別存在如圖所示的勻強磁場，B₁=B₂=1T．一質(zhì)量為m_A=0.1kg，電量為q=0.2C的帶正電小球A通過一根絕緣細(xì)線連接，細(xì)線另一端系于O點，絕緣細(xì)線l=1m，小球初始在圖中a點，現(xiàn)給其v₀=3$\sqrt{5}$m/s的豎直向下的速度使其作圓周運動，運動到b點時，與b點處一個不帶電的小球B相碰（B球未畫出），m_B=0.1kg，設(shè)兩球碰撞電量沒有損失，碰后兩球粘合在一起，速度變?yōu)榕銮暗囊话�，方向不變，且碰后瞬間剪斷細(xì)線，粘合體繼續(xù)運動．已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）A，B球碰前的瞬間細(xì)線的拉力．
（2）粘合體第一次達(dá)到最高點的坐標(biāo)．
（3）粘合體從b點開始到第N次經(jīng)過X軸的時間，并畫出粘合體運動的軌跡．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出小球A到達(dá)b點的速度，在b點應(yīng)用牛頓第二定律求出細(xì)線的拉力．
（2）兩球碰撞細(xì)線剪斷后在磁場中做勻速圓周運動，離開磁場后做豎直上拋運動，應(yīng)用豎直上拋運動規(guī)律求出上升的最大高度．
（3）應(yīng)用圓周運動的周期公式求出粒子在磁場中的運動時間，應(yīng)用豎直上拋運動規(guī)律求出做豎直上拋的運動時間，然后求出總的運動時間，根據(jù)運動情況作出粘合體的運動軌跡．

解答 解：（1）對A，從a到b過程，
由動能定理得：m_Agl-qEl=$\frac{1}{2}$m_Av_A²-$\frac{1}{2}$m_Av₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：v_A=5m/s，
在b點，由牛頓第二定律得：
F+qE-m_Ag-qvB₁=m_A$\frac{{v}_{A}^{2}}{l}$，代入數(shù)據(jù)解得：F=2.5N；
（2）A、B碰撞后的速度：v=$\frac{1}{2}$v_A=2.5m/s，
碰撞后粘合體所受重力與電場力合力為零，
粘合體在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，
經(jīng)過四分之一圓周后粘合體離開電磁場，
粘合體做豎直上拋運動，上升的最大高度：
h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{2．{5}^{2}}{2×10}$=0.3125m，
粘合體在做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=2.5m，
最高點的坐標(biāo)為：（-2.5m，0.3125m）；
（3）粘合體在電磁場中做圓周運動的周期：
T=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{2π×（0.1+0.1）}{0.2×1}$=2πs，
粘合體從b到第一次到達(dá)x軸的時間：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$s，
粘合體做豎直上拋運動的時間：t_上拋=$\frac{2v}{g}$=$\frac{2×2.5}{10}$=0.5s，
粘合體返回電磁場后做勻速圓周運動，經(jīng)過半個圓周后再次做豎直上拋運動，如此循環(huán)，
粘合體在電磁場中轉(zhuǎn)過半個圓需要的時間：t′=$\frac{1}{2}$T=πs，
粘合體從b點開始到第1次經(jīng)過X軸的時間：t₁=$\frac{π}{2}$s，
第二次經(jīng)過x軸的時間：t₂=t₁+t_上拋=（0.5+$\frac{π}{2}$）s，
第三次經(jīng)過x軸的時間：t₃=t₁+t_上拋+t′=（0.5+$\frac{π}{2}$+π）s，
第四次經(jīng)過x軸的時間：t₄=t₃+t_上拋=（1+$\frac{π}{2}$+π）s，
如果N為奇數(shù)，第N次通過x軸的時間：t=[$\frac{π}{2}$+$\frac{N-1}{2}$（π+0.5）]s，
如果N為偶數(shù)，第N次通過x軸的時間：t=[$\frac{π}{2}$+0.5+（$\frac{N}{2}$-1）（π+0.5）]s；
粘合體的運動軌跡如圖所示：

答：（1）A，B球碰前的瞬間細(xì)線的拉力為2.5N．
（2）粘合體第一次達(dá)到最高點的坐標(biāo)為：（-2.5m，0.3125m）．
（3）粘合體從b點開始到第N次經(jīng)過X軸的時間為：[$\frac{π}{2}$+$\frac{N-1}{2}$（π+0.5）]s  N為奇數(shù)，[$\frac{π}{2}$+0.5+（$\frac{N}{2}$-1）（π+0.5）]s  N為偶數(shù)；粘合體運動的軌跡如圖所示．

點評 本題考查了小球在混合場中的運動，小球的運動過程復(fù)雜，本題難度較大，分析清楚小球運動過程是正確解題的關(guān)鍵，分析清楚運動過程后，應(yīng)用動能定理、牛頓第二定律、粒子做圓周運動的周期公式即可解題；解題時注意數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．