Question

17．如圖所示為一傳送帶的模型，傳送帶水平部分AB長度L在0.5m≤L≤2.0m的范圍內取值，AB距水平地面的高度h=0.45m，皮帶輪順時針勻速轉動使傳送帶總保持v=2.0m/s的速度勻速運動．現將一工件（可視為質點）從靜止輕放在A端，一段時間后工件運動到B端并從B端水平拋出，已知工件與皮帶之間的動摩擦因數μ=0.20，g取10m/s²．
（1）求工件做加速運動過程的加速度大�。�
（2）當傳送帶的長度為L=0.5m時，為了使工件恰能從B端水平拋出，B端所在的主動輪半徑r應為多大？
（3）試討論工件的落地點與B點的水平距離x與AB長度L的關系．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出工件加速過程中的加速度大小．
（2）由題意得，L=0.5m時，工件仍能水平拋出，根據速度時間公式求出物體滑動B端的速度，當物體離開B端做平拋運動，知支持力為零，靠重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出最大半徑，從而求出主動輪半徑r應滿足的條件．
（3）物體可能先做勻加速直線運動再做勻速直線運動，也可能一直做勻加速直線運動．根據工件的運動規(guī)律，結合平拋運動的知識求出落地點與B點的水平距離x與AB長度L的關系．

解答 解：（1）根據牛頓第二定律，f=μmg=ma
解得a=μg=2.0m/s²
（2）設傳送帶的長度為L₀工件運動至B時恰能與傳送帶共速．
由運動學公式，得${L_0}=\frac{v^2}{2a}$
說明工件在傳送帶上一直做勻加速直線運動．  
設工件在B處的速度為v_B，則$v_B^2=2aL$
工件恰從B水平拋出，由牛頓第二定律得：$mg=\frac{mv_B^2}{r}$
解得：r=0.2m                                    
（3）工件落地點時間$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.3s$
當0.5m≤L＜1.0m時，工件一直做勻加速運動．
由運動學公式，得$v_B^2=2aL$
工件的水平位移$x={v_B}t=\frac{{3\sqrt{L}}}{5}$
當1.0m≤L≤2.0m時，工件與傳送帶達到共速，則
工件在B處的速度v_B=v=2m/s
工件的水平位移$x={v_B}t=\frac{3}{5}m$
綜上所述：
當0.5m≤L＜1.0m時，$x=\frac{{3\sqrt{L}}}{5}$；
當1.0m≤L≤2.0m時，x=0.6m．
答：（1）工件做加速運動過程的加速度大小為2.0m/s²．
（2）工件從B端水平拋出，B端所在的主動輪半徑r應滿足r≤0.2m．
（3）0.5m＜L＜1.0m時，x=0.6$\sqrt{L}$；1.0m≤L＜2.0m時，x=0.6m

點評 解決本題的關鍵理清工件的運動情況，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．