Question

如圖甲所示，豎直面MN的左側(cè)空間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)（上、下及左側(cè)無邊界）。一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電的小球，以大小為v₀的速度垂直于豎直面MN向右作直線運(yùn)動(dòng)。小球在t=0時(shí)刻通過電場(chǎng)中的P點(diǎn)，為使小球能在以后的運(yùn)動(dòng)中豎直向下通過D點(diǎn)（P、D間距為L，且它們的連線垂直于豎直平面MN，D到豎直面MN的距離DQ等于L/π），經(jīng)過研究，可以在電場(chǎng)所在的空間疊加如圖乙所示隨時(shí)間周期性變化的、垂直紙面向里的磁場(chǎng)，設(shè)且為未知量。求：

（1）場(chǎng)強(qiáng)E的大��；

（2）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知量，試推出滿足條件t₁的表達(dá)式；

（3）進(jìn)一步的研究表明，豎直向下的通過D點(diǎn)的小球?qū)⒆鲋芷谛赃\(yùn)動(dòng)。則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及運(yùn)動(dòng)的最大周期T的大小，并在圖中定性畫出此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡。

 

Answer 1

【答案】

（1）小球進(jìn)入電場(chǎng)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)　Eq=mg　　�、�  （2分）

　　　　　　　　　　　　　　　  E=mg/q      ②  （2分）

（2）在t₁時(shí)刻加磁場(chǎng)，小球在時(shí)間t_０內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)周期為T₀，半徑為R 。

有： ③（2分）   豎直向下通過D點(diǎn)應(yīng)有：PF-PD=R  

 即：  ④（2分）      將④代入⑤式解得 ⑤（2分）

（3）小球運(yùn)動(dòng)的速率始終不變，當(dāng)R變大時(shí)，也增加，小球在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T也增加。在小球不飛出電場(chǎng)的情況下，當(dāng)T最大時(shí)有：DQ=2R 即  ⑥（2分）解得  ⑦（2分）

結(jié)合乙圖及軌跡圖可知，小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大周期：

 ⑧（2分）

小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡圖如圖所示（2分）