Question

14．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD光滑，內(nèi)圓A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一質(zhì)量m=0.2kg的小球從軌道的最低點A，以初速度v₀向右運動，球的尺寸略小于兩圓間距，已知圓形軌道的半徑R=0.32m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為多少？
（2）若v₀=3.8m/s，經(jīng)過一段時間小球到達最高點，內(nèi)軌道對小球的支持力F=2N，則小球在這段時間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=3.9m/s，經(jīng)過足夠長的時間后，小球經(jīng)過最低點A時受到的支持力為多少？小球在整個運動過程中減少的機械能是多少？

Answer 1

分析 （1）緊貼外圓做圓周運動，在最高點的臨界情況是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合機械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點的速度大小，根據(jù)動能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）經(jīng)足夠長時間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運動，根據(jù)動能定理和牛頓第二定律求出最低點小球所受的支持力大小，根據(jù)能量守恒求出損失的機械能．

解答 解：（1）設(shè)此情形下小球到達最高點的最小速度為v_C，則有
  mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
根據(jù)機械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR
代入數(shù)據(jù)解得 v₀=4m/s
（2）設(shè)此時小球到達最高點的速度為v′_C，克服摩擦力做的功為W，則
   mg-F=m$\frac{v{′}_{C}^{2}}{R}$
由動能定理得：
-2mgR-W=$\frac{1}{2}mv{′}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 W=0.164J
（3）經(jīng)足夠長時間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運動，設(shè)小球經(jīng)過最低點的速度為v_A，受到的支持力為N_A，則有
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
由牛頓第二定律得：
  N_A-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得  N_A=6N
設(shè)小球在整個運動過程中減少的機械能為△E，由功能關(guān)系有
△E=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-mgR
代入數(shù)據(jù)解得△E=0.881J
答：
（1）要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為4m/s．
（2）小球在這段時間內(nèi)克服摩擦力做的功是0.164J．
（3）小球經(jīng)過最低點A時受到的支持力為6N，小球在整個運動過程中減少的機械能是0.881J．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律和機械能守恒定律，綜合性較強，關(guān)鍵是理清運動過程，抓住臨界狀態(tài)，運用合適的規(guī)律進行求解．