Question

4．月球自轉(zhuǎn)一周的時(shí)間與月球繞地球運(yùn)行一周的時(shí)間相等，都為T(mén)₀．我國(guó)的“嫦娥二號(hào)”探月衛(wèi)星于2010年10月成功進(jìn)入繞月運(yùn)行的“極月圓軌道”，這一圓形軌道通過(guò)月球南北兩極上空，距月面的高度為h．若月球質(zhì)量為m_月，月球半徑為R，引力常量為G．
（1）求“嫦娥二號(hào)”繞月運(yùn)行的加速度為多大？
（2）在月球自轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，“嫦娥二號(hào)”將繞月運(yùn)行多少圈？
（3）“嫦娥二號(hào)”攜帶了一臺(tái)CCD攝像機(jī)（攝像機(jī)拍攝不受光照影響），隨著衛(wèi)星的飛行，攝像機(jī)將對(duì)月球表面進(jìn)行連續(xù)拍攝．要求在月球自轉(zhuǎn)一周的時(shí)間內(nèi)，將月面各處全部拍攝下來(lái)，攝像機(jī)拍攝時(shí)拍攝到的月球表面寬度至少是多少？

Answer 1

分析 （1）“嫦娥二號(hào)”軌道半徑為r=R+h，根據(jù)月球?qū)Α版隙鸲��?hào)”萬(wàn)有引力等于“嫦娥二號(hào)”所需要的向心力列方程求解“嫦娥二號(hào)”繞月運(yùn)行的向心加速度；
（2）根據(jù)月球?qū)Α版隙鸲��?hào)”萬(wàn)有引力等于“嫦娥二號(hào)”所需要的向心力列方程求解“嫦娥二號(hào)”繞月運(yùn)行的周期，在月球自轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，“嫦娥二號(hào)”繞月運(yùn)行的圈數(shù)等于“嫦娥二號(hào)”的周期與月球自轉(zhuǎn)周期之比．
（3）攝像機(jī)只要將月球的“赤道”拍攝全，便能將月面各處全部拍攝下來(lái)；衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)一周可對(duì)月球“赤道”拍攝兩次，由拍攝到的月球表面寬度與月球周長(zhǎng)的關(guān)系求解．

解答 解：（1）“嫦娥二號(hào)”軌道半徑r=R+h，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：G$\frac{{m}_{月}m}{{r}^{2}}$=ma
解得：a=$\frac{{m}_{月}}{{（R+h）}^{2}}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：G$\frac{{m}_{月}m}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
可得“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星繞月周期T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{G{m}_{月}}}$
在月球自轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，“嫦娥1號(hào)”將繞月運(yùn)行圈數(shù)$n=\frac{{T}_{0}}{T}=\frac{{T}_{0}}{2π}\sqrt{\frac{G{m}_{月}}{（R+h）^{3}}}$
（3）攝像機(jī)只要將月球的“赤道”拍攝全，便能將月面各處全部拍攝下來(lái)；衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)一周可對(duì)月球“赤道”拍攝兩次，所以攝像機(jī)拍攝時(shí)拍攝到的月球表面寬度至少為$s=\frac{2πR}{2n}=\frac{2{π}^{2}R}{{T}_{0}}\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{G{m}_{月}}}$
答：（1）“嫦娥二號(hào)”繞月運(yùn)行的加速度為$\frac{{m}_{月}}{{（R+h）}^{2}}$；
（2）在月球自轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，“嫦娥二號(hào)”將繞月運(yùn)行$\frac{{T}_{0}}{2π}\sqrt{\frac{G{m}_{月}}{{（R+h）}^{3}}}$圈；
（3）攝像機(jī)拍攝時(shí)拍攝到的月球表面寬度至少是$\frac{2{π}^{2}R}{{T}_{0}}\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{G{m}_{月}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查應(yīng)用物理知識(shí)分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運(yùn)用萬(wàn)有引力等于向心力研究，知道攝像機(jī)只要將月球的“赤道”拍攝全，便能將月面各處全部拍攝下來(lái)；衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)一周可對(duì)月球“赤道”拍攝兩次，難度適中．