Question

6．如圖所示，位于豎直平面上半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧軌道AB光滑無(wú)摩擦，O點(diǎn)為圓心，A點(diǎn)距地面的高度為H，且O點(diǎn)與A點(diǎn)的連線水平．質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放，通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為3mg，最后落在地面C處．不計(jì)空氣阻力，求：
（1）小球離開(kāi)B點(diǎn)前后的加速度大小和速度v_B．
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x．
（3）小球落點(diǎn)速度與水平方向夾角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過(guò)B點(diǎn)的加速度，結(jié)合牛頓第二定律求出B點(diǎn)的速度大�。�
（2）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合初速度和時(shí)間求出水平距離x．
（3）根據(jù)速度公式求出落地時(shí)小球的豎直分速度，再求解．

解答 解：（1）在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：N-mg=ma
又 N=3mg
解得：a=2g，
根據(jù)：a=$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
得：v_B=$\sqrt{2gR}$．
（2）根據(jù)H-R=$\frac{1}{2}$gt²得：t=$\sqrt{\frac{2（H-R）}{g}}$
則水平距離為：x=v_Bt=$\sqrt{4HR-4{R}^{2}}$．
（3）落地時(shí)，豎直分速度為：v_y=gt=$\sqrt{2g（H-R）}$
則小球落點(diǎn)速度與水平方向夾角的正切值為：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{H-R}{R}}$
答：（1）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的加速度為2g，通過(guò)B點(diǎn)的速度v_B為$\sqrt{2gR}$．
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離為$\sqrt{4HR-4{R}^{2}}$．
（3）小球落點(diǎn)速度與水平方向夾角的正切值是$\sqrt{\frac{H-R}{R}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．