Question

15．如圖所示，一粗糙水平桌面上P、Q兩點(diǎn)相距I=6m，桌面高h(yuǎn)=0.8m，A與桌面動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.2，半徑R=1.75m的光滑圓弧軌道CDE與足夠長的粗糙直軌道EF在E處平滑連接．O為圓弧軌道CDE的圓心，D點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)．半徑OC、OE與OD的夾角分別為53°和37°，有一質(zhì)量為M=3kg的小物塊A從P點(diǎn)由靜止開始在F=30N的恒力作用下向右運(yùn)動(dòng)．F作用一端距離x后撤去，A之后運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)與質(zhì)量m=5kg的物體（視為質(zhì)點(diǎn)）B發(fā)生彈性正碰．B從桌面邊緣Q點(diǎn)水平拋出（桌面對(duì)B的摩擦忽略不計(jì)），恰從C點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道．已知物體B與軌道EF間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos7°=0.8，求：
（1）B物體水平拋出時(shí)的初速度大小v₁；
（2）在力F作用的時(shí)間內(nèi)，A運(yùn)動(dòng)的距離x；
（3）物體B第一次經(jīng)過E點(diǎn)到第一次返回E點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度位移公式求出物體平拋運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出B物體水平拋出的速度．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒求出A、B碰撞前A的速度，對(duì)A運(yùn)用動(dòng)能定理，求出在力F作用的時(shí)間內(nèi)，A運(yùn)動(dòng)的距離．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出B到達(dá)E點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物體B第一次經(jīng)過E點(diǎn)到第一次返回E點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間．

解答 解：（1）因?yàn)锽物體恰好從C點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道，在C點(diǎn)的豎直分速度為：
${v}_{y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}$m/s=4m/s，
根據(jù)平行四邊形定則知，$tan53°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$，
解得：${v}_{1}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=\frac{4}{\frac{4}{3}}m/s=3m/s$．
（2）A、B發(fā)生彈性正碰，動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，規(guī)定向右為正方向，有：
Mv_A=Mv_A′+mv₁，
$\frac{1}{2}M{{v}_{A}}^{2}=\frac{1}{2}M{v}_{A}{′}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立解得：v_A=4m/s，
對(duì)P到Q運(yùn)用動(dòng)能定理得：$Fx-{μ}_{1}Mgl=\frac{1}{2}M{{v}_{A}}^{2}-0$，
代入數(shù)據(jù)解得：x=2m．
（3）物體B在C點(diǎn)的速度為：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{9+16}$m/s=5m/s，
對(duì)C到E，根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg（Rcos37°-Rcos53°）=\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_E=$4\sqrt{2}$m/s，
物塊B沿EF上滑的加速度大小為：a₁=gsin37°+μ₂gcos37°=6+0.5×8=10m/s²，
下滑的加速度大小為：a₂=gsin37°-μ₂gcos37°=6-0.5×8=2m/s²，
上滑的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{v}_{E}}{{a}_{1}}=\frac{4\sqrt{2}}{10}=\frac{2\sqrt{2}}{5}s$
上滑的位移為：$x=\frac{{{v}_{E}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{32}{20}m=1.6m$，
根據(jù)x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$得下滑的時(shí)間為：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2x}{{a}_{2}}}=\sqrt{\frac{2×1.6}{2}}s=\frac{2\sqrt{10}}{5}s$，
則物體B第一次經(jīng)過E點(diǎn)到第一次返回E點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為：t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2\sqrt{2}}{5}+\frac{2\sqrt{10}}{5}=\frac{2（\sqrt{2}+\sqrt{10}）}{5}s$．
答：（1）B物體水平拋出時(shí)的初速度大小為3m/s；
（2）在力F作用的時(shí)間內(nèi)，A運(yùn)動(dòng)的距離x為2m；
（3）物體B第一次經(jīng)過E點(diǎn)到第一次返回E點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{2（\sqrt{2}+\sqrt{10}）}{5}s$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)、能量守恒定理解題，本題用的知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．