Question

3．為了研究過(guò)山車的原理，某同學(xué)提出下列設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角α=37°、長(zhǎng)L=2.75m的粗糙傾斜軌道AB，通過(guò)光滑水平軌道BC與豎直粗糙圓軌道相連，出口為水平軌道DE．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個(gè)質(zhì)量m=0.5kg的小物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)的速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下，已知物塊與傾斜軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）若小物塊在圓軌道最高點(diǎn)P處恰好無(wú)壓力，且在圓軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)C點(diǎn)的壓力為35N，求圓軌道的半徑和小物塊在P處的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即A點(diǎn)速度方向求得A點(diǎn)速度，然后由動(dòng)能定理求得B點(diǎn)速度；
（2）在C點(diǎn)豎直方向應(yīng)用牛頓第二定律可求得半徑，在最高點(diǎn)P豎直方向應(yīng)用牛頓第二定律可求得P點(diǎn)速度．

解答 解：（1）物塊從某一高處水平拋出，做平拋運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，那么由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：水平分速度不變；
物塊到A點(diǎn)時(shí)的速度方向恰沿AB方向，那么物塊在A處的速度${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cos37°}=5m/s$；
小物塊從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程只有重力、摩擦力做功，由動(dòng)能定理可得：$mgLsin37°-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
所以，小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2gL（sin37°-μcos37°）}=6m/s$；
（2）小物塊對(duì)C點(diǎn)的壓力為35 N，那么，小物塊在C點(diǎn)受到的支持力F_N=35N，對(duì)小物塊在C點(diǎn)豎直方向上應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$；
所以，圓軌道的半徑$R=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{{F}_{N}-mg}=0.6m$；
小物塊在圓軌道最高點(diǎn)P處恰好無(wú)壓力，那么，對(duì)小物塊在P點(diǎn)豎直方向上應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{P}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{P}=\sqrt{gR}=\sqrt{6}m/s$；
答：（1）小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為6m/s；
（2）若小物塊在圓軌道最高點(diǎn)P處恰好無(wú)壓力，且在圓軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)C點(diǎn)的壓力為35N，那么圓軌道的半徑為0.6m；小物塊在P處的速度大小為$\sqrt{6}m/s$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．