Question

10．如圖所示，虛線MN為勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分界線，勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E方向豎直向下且與邊界MN成θ=45°角，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，在電場(chǎng)中有一點(diǎn)P，P點(diǎn)到邊界MN的豎直距離為d．現(xiàn)將一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從P處由靜止釋放（不計(jì)粒子所受重力，電場(chǎng)和磁場(chǎng)范圍足夠大）．求：
（1）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大�。�
（2）粒子第一次出磁場(chǎng)處到第二次進(jìn)磁場(chǎng)處的距離；
（3）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)后的某時(shí)刻，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小突然變?yōu)锽'，但方向不變，此后粒子恰好被束縛在該磁場(chǎng)中，則B'的最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)力的作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理就能求出粒子加速d后進(jìn)入磁場(chǎng)的速度．
（2）由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性：帶電粒子豎直向下進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)?shù)谝淮坞x開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)該是水平向右，那么在磁場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律就能求出離開(kāi)磁場(chǎng)到再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沿邊界線的距離．
（3）由題意可知，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)處改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑又最大值，即B'最小，則該點(diǎn)位置應(yīng)該離開(kāi)邊界的距離遠(yuǎn)，由此可以求得心跡改變磁場(chǎng)后帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再由洛侖茲力提供向心力從而求出改變之后的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值的大小．

解答 解：（1）設(shè)粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，由動(dòng)能定理可得  $qEd=\frac{1}{2}m{v^2}$
   解得$v=\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$
（2）粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子第一次出磁場(chǎng)到第二次進(jìn)磁場(chǎng)，兩點(diǎn)間距為x_CA
  由類平拋規(guī)律   x=vt，$y=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}{t^2}$
  由幾何知識(shí)可得x=y，解得$t=\sqrt{\frac{2md}{Eq}}$
  兩點(diǎn)間的距離為${x_{CA}}=\sqrt{2}vt$
  代入數(shù)據(jù)可得${x_{CA}}=4\sqrt{2}d$ 
（3）由$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$可得$R=\frac{mv}{qB}$，即$R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mEd}{q}}$
  由題意可知，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)處改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑又最大值，即B'最小，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中的虛線圓所示．
  設(shè)此后粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，則有幾何關(guān)系可知：2r=R+Rcos45°    從而有：$r=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}R$
  又因?yàn)锽′qv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，所以$B'=\frac{mv}{qr}$，
  代入數(shù)據(jù)可得$B'=2（{2-\sqrt{2}}）B$
答：（1）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$．
（2）粒子第一次出磁場(chǎng)處到第二次進(jìn)磁場(chǎng)處的距離為4$\sqrt{2}d$．
（3）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)后的某時(shí)刻，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小突然變?yōu)锽'，但方向不變，此后粒子恰好被束縛在該磁場(chǎng)中，則B'的最小值為2（2-$\sqrt{2}$）B．

點(diǎn)評(píng) 本題有兩個(gè)靚點(diǎn)：一是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程有三個(gè)特征，先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再做類平拋運(yùn)動(dòng)，本題第二問(wèn)求的是第三過(guò)程的合位移．二是帶電粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)的某時(shí)刻突然改變磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，讓粒子恰恰被束縛在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，先確定改變磁感應(yīng)強(qiáng)度大小位置，從而確定改變之后粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再由洛侖茲力提供向心力從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．