Question

3．一宇航員到達半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗，用不可伸長的輕繩栓一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，測得繩的拉力大小隨時間t的變化規(guī)律如圖乙所示，F(xiàn)₁=7F₂，設(shè)R、m、引力常量G、F₁、F₂均為已知量，忽略各種阻力，以下說法中不正確得是（　�。�

• A． 小球在最高點的最小速度為零
• B． 衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{R{F_2}}}{m}}$
• C． 該星球表面的重力加速度為$\frac{F_1}{7m}$
• D． 星球的質(zhì)量為$\frac{{{F_2}{R^2}}}{Gm}$

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，在最高點和最低點時，由向心力的公式和整個過程的機械能守恒可以求得重力加速度的大��；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，可以求得星球的質(zhì)量；
（4）對小球在最高點運用牛頓第二定律分析求解問題．

解答 解：A、小球在最高點受重力和繩子拉力，根據(jù)牛頓運動定律得：
F₂+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$≥mg
所以小球在最高點的最小速v₂≥$\sqrt{gR}$．故A錯誤；
B、設(shè)小球在最低點時細線的拉力為F₁，速度為v₁，則
F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$  ①
設(shè)小球在最高點細線的拉力為F₂，速度為v₂，則
F₂+mg=m $\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$  ②
由機械能守恒定律得：
mg（2r）+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁² ③
由①、②、③解得
g=$\frac{{F}_{1}-{F}_{2}}{6m}$  ④
又：F₁=7F₂，
所以該星球表面的重力加速度為g=$\frac{{F}_{1}}{7m}$=$\frac{{F}_{2}}{m}$，
根據(jù)萬有引力提供向心力得：m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg
衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{R{F}_{1}}{7m}}$=$\sqrt{\frac{R{F}_{2}}{m}}$，故B、C正確．
D、在星球表面，萬有引力近似等于重力G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g ⑤
由④、⑤解得 M=$\frac{{F}_{1}{R}^{2}}{7Gm}$=$\frac{{F}_{2}{R}^{2}}{Gm}$，故D正確．
本題選不正確的，故選：A．

點評 根據(jù)小球做圓周運動時在最高點和最低點的運動規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，知道在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運動時，物體的重力就作為做圓周運動的向心力．