Question

5．如圖所示，AB為傾角為37°的粗糙斜面，BC為粗糙的水平面，CPD為豎直放置的光滑的半圓軌道，P點(diǎn)為與圓心等高處，已知AB斜面的豎直高度為h=6m，BC的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=8m，一物塊在A點(diǎn)由靜止釋放，物塊與AB和BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.1，不考慮經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度大小的變化，重力加速度大小為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若半圓軌道CPD的半徑R=1.6m，求物塊離開(kāi)圓軌道后落回到BC上的位置與B點(diǎn)間的距離d；
（2）若物塊滑上圓軌道后能沿圓軌道滑下，求R的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）從A到D對(duì)物塊運(yùn)用動(dòng)能定理，即可求出物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的速度，再根據(jù)平拋運(yùn)用規(guī)律結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出物塊離開(kāi)圓軌道后落回到BC上的位置與B點(diǎn)間的距離d；
（2）物塊滑上圓軌道后能沿圓軌道滑下的臨界條件為恰好運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周后速度恰好為0，求出此時(shí)半徑的臨界值即可確定半徑R的取值范圍．

解答 解：（1）物塊恰好通過(guò)D點(diǎn)的條件為重力提供向心力，即：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
可得臨界速度：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×1.6}$m/s=4m/s
從A到D對(duì)物塊運(yùn)用動(dòng)能定理可得：mg（h-2R）-μmg•$\frac{h}{sinθ}$•cos37°-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0①
解得：v_D=2$\sqrt{6}$＞4m/s，故物塊可以通過(guò)D點(diǎn)，從D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)離開(kāi)圓軌道，
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：x=v_Dt②
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$③
d=L-x④
聯(lián)立①②③④式可得：d=8-$\frac{8\sqrt{6}}{5}$m≈4.1m
（2）設(shè)當(dāng)半徑為R′時(shí)，物塊運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周后速度恰好為0，
根據(jù)動(dòng)能定理可得：mg（h-R′）-μmg•$\frac{h}{sinθ}$•cos37°-μmgL=0
解得：R′=2.8m
則物塊滑上圓軌道后能沿圓軌道滑下R的取值范圍：R≥R′=2.8m
答：（1）若半圓軌道CPD的半徑R=1.6m，物塊離開(kāi)圓軌道后落回到BC上的位置與B點(diǎn)間的距離d約為4.1m；
（2）若物塊滑上圓軌道后能沿圓軌道滑下，R的取值范圍為R≥2.8m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是要分好運(yùn)動(dòng)過(guò)程，結(jié)合物體運(yùn)動(dòng)形式選擇合適的規(guī)律解題，本題對(duì)整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，可以化繁為簡(jiǎn)提高解題效率；第（2）問(wèn)解決的關(guān)鍵是要找到物塊滑上圓軌道后能沿圓軌道滑下的臨界條件，即：物塊運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周后速度恰好為0．