Question

17．如圖所示，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的小球，以某一初速度從A點(diǎn)水平拋出，恰好從豎直圓管BCD的B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓管，經(jīng)BCD后從圓管的最高點(diǎn)D水平射出，恰好又落到B點(diǎn)．已知圓弧的半徑為R=0.3m，且A與D在同一水平線上，BC弧對(duì)應(yīng)的圓心角θ=60°，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²．求：
（1）AB兩點(diǎn)間的水平距離；
（2）小球第一次落在B點(diǎn)時(shí)，小球?qū)�管壁的做用力大�。?br />（3）試判斷圓弧管道是否光滑，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由A到B做平拋運(yùn)動(dòng)且在B處的速度方向沿切線方向求解；
（2）對(duì)小球在B處進(jìn)行受力分析，在徑向應(yīng)用牛頓第二定律求解；
（3）根據(jù)從D到B為平拋運(yùn)動(dòng)求得在D點(diǎn)的速度，然后分別求得在B和D的機(jī)械能，根據(jù)機(jī)械能是否相等得到管道是否光滑．

解答 解：（1）小球從A到B做平拋運(yùn)動(dòng)，那么有：$R（1+cosθ）=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：$t=\sqrt{\frac{2R（1+cosθ）}{g}}=0.3s$；
那么小球在B處的豎直分速度為：v_y=gt=3m/s，水平分速度為：${v}_{x}=\sqrt{3}m/s$，在B處的速度為：${v}_{B}=2\sqrt{3}m/s$；
所以，AB兩點(diǎn)間的水平距離為：$x={v}_{x}t=0.3\sqrt{3}m=0.52m$；
（2）對(duì)小球進(jìn)行受力分析可知：管壁對(duì)小球的作用力F指向圓心，在徑向方向上應(yīng)用牛頓第二定律可得：$F-mgcosθ=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：$F=mgcosθ+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=45N$；
那么，由牛頓第三定律可得：小球第一次落在B點(diǎn)時(shí)，小球?qū)�管壁的作用力大小�?5N；
（3）小球從D到B做平拋運(yùn)動(dòng)，故有：$R（1+cosθ）=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，Rsinθ=v_Dt
解得：${v}_{D}=\frac{Rsinθ}{t}=\frac{Rsinθ}{\sqrt{\frac{2R（1+cosθ）}{g}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}m/s$；
那么以B的為零勢(shì)能面，則小球在B處的機(jī)械能為：${E}_{B}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=6J$
在D處的機(jī)械能為：${E}_{D}=mgR（1+cosθ）+\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=\frac{39}{8}J＜{E}_{B}$；
所以，小球從B到D機(jī)械能減少，故圓弧管道不光滑；
答：（1）AB兩點(diǎn)間的水平距離為0.52m；
（2）小球第一次落在B點(diǎn)時(shí)，小球?qū)�管壁的做用力大小�?5N；
（3）圓弧管道不光滑．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．