Question

（2011?南通二模）如圖所示，兩平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平面上，相距為L(zhǎng)，處于豎直向下的磁場(chǎng)中，整個(gè)磁場(chǎng)由n個(gè)寬度皆為x₀的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域1、2…n組成，從左向右依次排列，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B、2B、3B…nB，兩導(dǎo)軌左端MP間接入電阻R，一質(zhì)量為m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放在水平導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌電接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌和金屬棒的電阻．
（1）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的力，使其從圖示位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)并穿過(guò)n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)，求導(dǎo)體棒穿越磁場(chǎng)區(qū)1的過(guò)程中通過(guò)電阻R的電量q；
（2）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的恒力F₀，讓它從磁場(chǎng)區(qū)1左側(cè)邊界處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)向右運(yùn)動(dòng)距離

x0

2

時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，求棒通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)1所用的時(shí)間t；
（3）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的拉力，讓它從距離磁場(chǎng)區(qū)1左側(cè)x=x₀的位置由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)1時(shí)開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，此后在不同的磁場(chǎng)區(qū)施加不同的拉力，使棒ab保持做勻速運(yùn)動(dòng)穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)，求棒ab通過(guò)第i磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的水平拉力F_i和棒ab在穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)過(guò)程中回路產(chǎn)生的電熱Q．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均電流，帶入公式Q=It即可求出電量．
（2）線框開(kāi)始做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)于變加速過(guò)程根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可以求出時(shí)間．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理可以求出導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小，在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)因此安培力等于力F₁，根據(jù)受力平衡可以求出力F₁，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒克服安培力做功，轉(zhuǎn)化為回路中的電熱，根據(jù)功能關(guān)系寫(xiě)出安培力做功表達(dá)式，然后依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答：解：（1）電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=

△Φ

△t

通過(guò)電阻R的電量為：q=I△t=

E△t

R

導(dǎo)體棒通過(guò)I區(qū)過(guò)程：△Φ=BLx₀
解得：q=

BLx0

R

故導(dǎo)體棒穿越磁場(chǎng)區(qū)1的過(guò)程中通過(guò)電阻R的電量：q=

BLx0

R

．
（2）設(shè)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v₀，則產(chǎn)生的感應(yīng)電流為：
I0=

E

R

=

BLv0

R

導(dǎo)體棒受到的安培力與水平向右的恒力F₀平衡，則
BI₀L=F₀
解得：v0=

F0R

B2L2

設(shè)棒通過(guò)磁場(chǎng)去I在△t時(shí)間內(nèi)速度的變化為△v，對(duì)應(yīng)的位移為△x，則
F0-BIL=m

△v

△t

△v=

F0

m

△t-

B2L2

mR

v△=

F0

m

△t-

B2L2

mR

△x
則∑△v=

F0

m

∑△t-

B2L2

mR

∑△x
解得：t=

B2L2x0

F0R

+

mR

B2L2

故棒通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)1所用的時(shí)間t=

B2L2x0

F0R

+

mR

B2L2

．
（3）設(shè)進(jìn)入I區(qū)時(shí)拉力為F₁，速度v，則有：
F1x0=

1

2

mv2 
 F1-

B2L2v

R

 =0
解得：F1=

2B4L4x0

mR2

，v=

2B2L2x0

mR

進(jìn)入i區(qū)的拉力：Fi=

2i2B4L4x0

mR2

．
導(dǎo)體棒以后通過(guò)每區(qū)域都以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，由功能關(guān)系有：
Q=F₁x₀+F₂x₀+…+F_nx₀
解得：Q=

2 x 2 0 B4L4

mR2

(12+22+…n2)
故棒ab通過(guò)第i磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的水平拉力的拉力：Fi=

2i2B4L4x0

mR2

，棒ab在穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)過(guò)程中回路產(chǎn)生的電熱Q=

2 x 2 0 B4L4

mR2

(12+22+…n2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了電磁感應(yīng)中力學(xué)與功能問(wèn)題，物理過(guò)程比較簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答物理問(wèn)題．