Question

如圖所示，在xOy平面的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P、Q 兩點，圓內(nèi)存在垂直于xOy平面向外的勻強磁場．在第I象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強電場，電場強度為E，一帶正電的粒子（重力不計）以速率v0從P點射入磁場后恰好垂直y軸進(jìn)入電場，最后從M（

8R

3

，0）點射出電場，出射方向與x軸正向夾角為α，且滿足tanα=

5

4

，求：
（1）帶電粒子的比荷；
（2）磁場磁感應(yīng)強度的大小B；
（3）若粒子從P點入射方向與x軸負(fù)方向的夾角為θ，則cosθ之值為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運動，由到達(dá)M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點y方向的速度．結(jié)合牛頓第二定律求得粒子的比荷；
（2）根據(jù)運動學(xué)的公式，求出粒子進(jìn)入電場時的位置，畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求出粒子運動的半徑，根據(jù)半徑公式r=

mv

qB

求出磁感應(yīng)強度；
（3）粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，利用洛倫茲力提供向心力的公式，求出在磁場中運動的軌跡半徑，利用幾何關(guān)系求出cosθ之值．

解答：解：（1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運動，設(shè)粒子在電場中運動的時間為t，
在x軸方向上，粒子做勻速直線運動，有：

8

3

R=v₀t ①
在M處，粒子沿y軸方向的分速度為：v_y=v₀tanα ②
設(shè)粒子在電場中沿y軸負(fù)方向做勻加速運動的加速度為a，則有：qE=ma ③
又 v_y=at ④
據(jù)題意 tanα=

5

4

 ⑤
聯(lián)立①②③④⑤解得：

q

m

=

15 v 2 0

32RE

．⑥
（2）粒子的運動軌跡如圖所示，O₁是磁場圓的圓心，O₂是粒子軌跡圓的圓心．
P′是粒子射出磁場的位置，依題意，粒子垂直y軸進(jìn)入電場，則P′O₁=PO₁=R
所以粒子的軌道半徑 r=R ⑦
由 qv₀B=m

v 2 0

r

 ⑧
由⑥⑦⑧得，B=

32E

15v0

．
（3）粒子人N點進(jìn)入電場，ON的長度y應(yīng)滿足：

v

2 y

=2ay ⑨
由幾何知識得：y=R+Rcosθ  ⑩
由①③④⑨⑩解得，cosθ=

2

3

答：
（1）帶電粒子的比荷是

15 v 2 0

32RE

；
（2）磁場磁感應(yīng)強度的大小B是

32E

15v0

．
（3）若粒子從P點入射方向與x軸負(fù)方向的夾角為θ，則cosθ之值為

2

3

．

點評：粒子在電場中運動偏轉(zhuǎn)時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．